555. Разработка новых эконометрических методов управления предприятием / Орлов А.И., Иванова Н.Ю., Орлова Л.А., Анисимова М.Б., Гуськова Е.А., Митрохин И.Н.  - Отчет по госбюджетной НИР (рукопись). – М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003. - 95 стр. 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ         

                    МОСКОВСКИЙ		
   ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ 
                             УНИВЕРСИТЕТ		
                 	     имени  Н.Э.БАУМАНА	
       (МГТУ им. Н.Э.Баумана)

УДК 330.115							УТВЕРЖДАЮ     
  					Первый проректор – 
№ госрегистрации                                  проректор по научной работе   
_________________                                МГТУ им. Н.Э.Баумана
_____________д-р техн.наук, проф.К.Е.ДЕМИХОВ
 
Инв. №___________				“___”_______________________

О Т Ч Е Т
О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ  РАБОТЕ

РАЗРАБОТКА НОВЫХ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЕМ
(заключительный)

НИЧ  1.14.03

Начальник ОНИЧ ИБМ, канд. экон. наук, доц. ____________ Г.А.Климентов

Руководитель темы, д-р техн. наук, проф.	       _____________  А.И.Орлов

Москва  2003 
 СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ

Руководитель научно-исследовательской работы, 
доктор технических наук, профессор		
	А.И.Орлов (разд.1-4)

Кандидат экономических наук, доцент		
	Н.Ю.Иванова (разд.2)

Ассистент							Л.А.Орлова (подразд.4.1-4.2)

Старший лаборант					М.Б.Анисимова (разд. 1)  

Аспирант 							Е.А.Гуськова (подразд.4.3-4.5)

Аспирант 							И.Н.Митрохин (подразд.4.3-4.5)

 
Нормоконтролер							О.Н.Косичкин

 РЕФЕРАТ

Отчет 95 с., табл.11, библиографических источников 98 

ЭКОНОМЕТРИКА, СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ, ВЫСОКИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ, МЕТОДЫ КЛАССИФИКАЦИИ, КЛАСТЕР-АНАЛИЗ, МЕТОДЫ ДИАГНОСТИКИ, КОНТРОЛЛИНГ, РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

	В отчете рассмотрены методологические проблемы развития эконометрики, некоторые ее теоретические задачи и прикладные вопросы. 
	В первом разделе на основе современных подходов к эконометрике разрабатывается концепция высоких статистических технологий, изучаются проблемы их создания, внедрения и преподавания, их соотнесение с классическими и «низкими» технологиями. Второй раздел посвящен разработке эконометрических методов классификации. В частности, строится вероятностная теория кластер-анализа, развиваются методы сравнения алгоритмов диагностики и методы использования непараметрических оценок плотности в задачах классификации. В третьем разделе рассматривается практика применения эконометрических методов при решении задач контроллинга и в производственном менеджменте. Четвертый раздел посвящен разработке нового раздела эконометрики - интервального регрессионного анализ - с целью применения в задачах контроллинга.
	Результаты НИР предназначены для использования на промышленных предприятиях (в системе управления, в центральных заводских лабораториях, в службах качества и маркетинга, и т.д.), при проведении дальнейших фундаментальных исследований, в учебном процессе МГТУ им. Н.Э.Баумана (дисциплины «Эконометрика-1», «Эконометрика-2», «Прогнозирование и ТЭП в отрасли» и др.).

 СОДЕРЖАНИЕ
  	с.
Введение	6
 
1. Высокие статистические технологии	7
1.1 Термин "высокие статистические технологии"	7
1.2 Почему живучи "низкие статистические технологии"?	11
1.3 Как ускорить внедрение "высоких статистических технологий"?	14
1.4. Институт высоких статистических технологий и эконометрики	16
1.5 Зачем нужны высокие статистические технологии, разве 
недостаточно обычных статистических методов?	18
1.6 Преподавание высоких статистических технологий и 
эконометрики	20

2. Эконометрические методы классификации	23
2.1 Основные идеи эконометрической теории классификации	23
2.2. Основные направления в математической теории диагностики	25
2.3 О построении диагностических правил	29
2.4 Проблема поиска естественной классификации как основы 
диагностики	32
2.5 Вероятностная теория кластер-анализа	36
2.6 О вычислительной сходимости алгоритмов кластер-анализа	39
2.7 О сравнении алгоритмов диагностики по результатам обработки 
реальных данных	40
2.8 Математические методы диагностики на основе 
непараметрических оценок плотности 	44
2.9 Свойства непараметрических ядерных оценок плотности	48
2.10 Непараметрические оценки плотности в конечных 
пространствах	50
2.11 Теоретические и практические работы по классификации	53

3. Применение эконометрических методов при решении задач 
контроллинга и производственного менеджмента	54
3.1 Термин «эконометрика»	54
3.2 Эконометрика в работах отечественных контроллеров	55
3.3 Эконометрика в производственном менеджменте	58
3.4 Анализ ситуации с помощью системы показателей	61
3.5 Взвешенные агрегированные показатели	64
3.6 Эконометрика при обучении контроллеров	65

4 Интервальный регрессионный анализ в контроллинге	69
4.1 Традиционный и интервальный варианты регрессионного 
анализа: преимущества и недостатки	69
4.2 Интервальный линейный регрессионный анализ	72
4.3 Интервальная парная регрессия	74
4.4 Прогнозирование затрат предприятия с помощью
 интервального регрессионного анализа	77
4.5 Свойства интервального регрессионного анализа	83

Заключение	86

Список использованных источников	87

ВВЕДЕНИЕ

	Цели, содержание и основные требования к проведению НИР: На основе современных подходов к эконометрике разработать концепцию высоких статистических технологий, изучить проблемы их создания, внедрения и преподавания, их соотнесения с классическими и «низкими» технологиями. Разработать эконометрические методы классификации, в том числе вероятностную теорию кластер-анализа, методы сравнения алгоритмов диагностики, методы использования непараметрических оценок плотности в задачах классификации. Проанализировать применение эконометрических методов при решении задач контроллинга и в производственном менеджменте. Разработать интервальный регрессионный анализ с целью применения в задачах контроллинга.
	Ожидаемые результаты НИР. Проведение данной научно-исследовательской работы предполагает получение следующих результатов:
•	развитие концепции высоких статистических технологий, возможностей применения эконометрических методов при управлении предприятиями; 
•	разработка системы моделей и адекватных им эконометрических методов  классификации (диагностики, группировки, кластер-анализа) конкретных экономических данных; 
•	разработка новых эконометрических методов интервального регрессионного анализа с целью использования при управлении предприятиями, прежде всего в деятельности служб контроллинга.
	Предполагаемое использование результатов НИР: на промышленных предприятиях (в системе управления, в центральных заводских лабораториях, в службах качества и маркетинга, и т.д.), при проведении дальнейших фундаментальных исследований, в учебном процессе (дисциплины «Эконометрика-1», «Эконометрика-2», «Прогнозирование и ТЭП в отрасли» и др.).

1. Высокие статистические технологии
 
	В разделе вводится и обсуждается понятие "высокие статистические технологии". Рассматриваются причины широкого распространения устаревших и частично ошибочных "низких" статистических технологий. Показано, что из всех путей повышения качества прикладных статистических исследований наиболее эффективным является расширение обучения "высоким статистическим технологиям", в том числе под именем эконометрики. Описан опыт работы Института высоких статистических технологий и эконометрики МГТУ им. Н.Э. Баумана.
	Термин "высокие технологии" популярен в современной научно-технической литературе. Он используется для обозначения наиболее передовых технологий, опирающихся на последние достижения научно-технического прогресса. Есть такие технологии и среди технологий статистического анализа данных - как в любой интенсивно развивающейся научно-практической области.
 	Примеры высоких статистических технологий и входящих в них алгоритмов  анализа данных постоянно обсуждаются на страницах журнала "Заводская лаборатория" в секции "Математические методы исследования". Подробный анализ современного состояния и перспектив развития тематики секции был дан в статье [1] при обсуждении “точек роста” рассмариваемой научно-практической дисциплины. В этой статье в качестве "высоких статистических технологий" были выделены технологии непараметрического анализа данных; устойчивые (робастные) технологии; технологии, основанные на размножении выборок, на использовании достижений статистики  нечисловых данных и статистики интервальных данных.

1.1. Термин "высокие статистические технологии"

Обсудим пока не вполне привычный термин "высокие статистические технологии". Каждое из трех слов несет свою смысловую нагрузку.
"Высокие", как и в других областях, означает, что статистическая технология опирается на современные достижения статистической теории и практики, в частности, теории вероятностей и прикладной математической статистики. При этом "опирается на современные научные достижения" означает, во-первых, что математическая основа технологии получена сравнительно недавно в рамках соответствующей научной дисциплины, во-вторых, что алгоритмы расчетов разработаны и обоснованы в соответствии в нею (а не являются т.н. эвристическими). Со временем, если новые подходы и результаты не заставляют пересмотреть оценку применимости и возможностей технологии, заменить ее на более современную, "высокие статистические технологии" переходят в "классические статистические технологии", такие, как метод наименьших квадратов. Итак, высокие статистические технологии - плоды недавних серьезных научных исследований. Здесь два ключевых понятия - "молодость" технологии (во всяком случае, не старше 50 лет, а лучше - не старше 10 или 30 лет) и опора на "высокую науку".
Термин "статистические" привычен, но разъяснить его нелегко. Во всяком случае, к деятельности Государственного комитета РФ по статистике высокие статистические технологии отношения не имеют. Как известно, сотрудники проф. В.В. Налимова собрали более 200 определений термина "статистика" [2]. Полемика вокруг терминологии иногда принимает весьма острые формы (см., например, редакционные замечания к статье [3], написанные в стиле известных высказываний о генетике и кибернетике 1940-х годов). Современное представление о терминологии в области теории вероятностей и математической статистики отражено в статье [4], подготовленной в противовес распространенным ошибкам и неточностям в этой области. В частности, с точки зрения журнала "Заводская лаборатория. Диагностика материалов" статистические данные – это результаты измерений, наблюдений, анализов, опытов, а "статистические технологии" - это технологии анализа статистических данных.
Наконец, редко используемый применительно к статистике термин "технологии". Статистический анализ данных, как правило, включает в себя целый ряд процедур и алгоритмов, выполняемых последовательно, параллельно или по более сложной схеме. В частности, можно выделить следующие этапы:
- планирование статистического исследования; 
- организация сбора необходимых статистических данных по оптимальной или рациональной программе (планирование выборки, создание организационной структуры и подбор команды статистиков, подготовка кадров, которые будут заниматься сбором данных, а также контролеров данных и т.п.);
- непосредственный сбор данных и их фиксация на тех или иных носителях (с контролем качества сбора и отбраковкой ошибочных данных по соображениям предметной области);
- первичное описание данных (расчет различных выборочных характеристик, функций распределения, непараметрических оценок плотности, построение гистограмм, корреляционных полей, различных таблиц и диаграмм  и т.д.), 
- оценивание тех или иных числовых или нечисловых характеристик и параметров распределений (например, непараметрическое интервальное оценивание коэффициента вариации или восстановление зависимости между откликом и факторами, т.е. оценивание функции), 
- проверка статистических гипотез (иногда их цепочек - после проверки предыдущей гипотезы принимается решение о проверке той или иной последующей гипотезы), 
- более углубленное изучение, т.е. применение различных алгоритмов многомерного статистического анализа, алгоритмов диагностики и построения классификации, статистики нечисловых и интервальных данных, анализа временных рядов и др.; 
- проверка устойчивости полученных оценок и выводов относительно допустимых отклонений исходных данных и предпосылок используемых вероятностно-статистических моделей, в частности, изучение свойств оценок методом размножения  выборок;
- применение полученных статистических результатов в прикладных целях (например, для диагностики конкретных материалов, построения прогнозов, выбора инвестиционного проекта из предложенных вариантов, нахождения оптимальных режима осуществления технологического процесса, подведения итогов испытаний образцов технических устройств и др.), 
- составление итоговых отчетов, в частности, предназначенных для тех, кто не является специалистами в статистических методах анализа данных, в том числе для руководства - "лиц, принимающих решения".  
	Возможны и иные структуризации статистических технологий. Важно подчеркнуть, что квалифицированное и результативное применение статистических методов - это отнюдь не проверка одной отдельно взятой статистической гипотезы или оценка параметров одного заданного распределения из фиксированного семейства. Подобного рода операции - только отдельные кирпичики, из которых складывается статистическая технология. Между тем учебники и монографии по статистике обычно рассказывают об отдельных кирпичиках, но не обсуждают проблемы их организации в технологию, предназначенную для прикладного использования.
Итак, процедура статистического анализа данных – это информационный технологический процесс, другими словами, та или иная информационная технология. Статистическая информация подвергается разнообразным операциям (последовательно,  параллельно или по более сложным схемам). В настоящее время об автоматизации всего процесса статистического анализа данных говорить было бы несерьезно, поскольку имеется слишком много нерешенных проблем, вызывающих дискуссии среди статистиков. "Экспертные системы" в области статистического анализа данных пока не стали рабочим инструментом статистиков. Ясно, что и не могли стать. Можно сказать и жестче - это пока научная фантастика или даже  вредная утопия. 
В литературе статистические технологии рассматриваются явно недостаточно. В частности, обычно все внимание сосредотачивается на том или ином элементе технологической цепочки, а переход от одного элемента к другому остается в тени. Между тем проблема "стыковки" статистических алгоритмов, как известно, требует специального рассмотрения [5], поскольку в результате  использования предыдущего алгоритма зачастую нарушаются условия применимости последующего. В частности, результаты наблюдений могут перестать быть независимыми, может измениться их распределение и т.п.
Например, при проверке статистических гипотез большое значение имеют такие хорошо известные характеристики статистических критериев, как уровень значимости и мощность. Методы их расчета и использования при проверке одной гипотезы обычно хорошо известны. Если же сначала проверяется одна гипотеза, а потом с учетом результатов ее проверки - вторая, то итоговая процедура, которую также можно рассматривать как проверку некоторой (более сложной) статистической гипотезы, имеет характеристики (уровень значимости и мощность), которые, как правило, нельзя просто выразить через характеристики двух составляющих гипотез, а потому они обычно неизвестны. В результате итоговую процедуру нельзя рассматривать как научно обоснованную, она относится к эвристическим алгоритмам. Конечно, после соответствующего изучения, например, методом Монте-Карло, она  может войти в число научно обоснованных процедур прикладной статистики. Этот сюжет подробнее рассмотрен в статье [5].

1.2. Почему живучи "низкие статистические технологии"?

	"Высоким статистическим технологиям" противостоят, естественно, "низкие статистические технологии". Это те технологии, которые не соответствуют современному уровню науки и техники. Обычно они одновременно и устарели, и не адекватны сути решаемых статистических задач. 
Примеры таких технологий неоднократно критически рассматривались на страницах нашего журнала. Достаточно вспомнить критику использования классических процентных точек критериев Колмогорова и омега-квадрат в ситуациях, когда параметры оцениваются по выборке и эти оценки подставляются в "теоретическую" функцию распределения [7]. Приходилось констатировать широкое распространение таких порочных технологий и конкретных алгоритмов, в том числе в государственных и международных стандартах (перечень ошибочных стандартов дан в [6]), учебниках и распространенных пособиях (разбор ошибок проведен в статьях [7,8]). Тиражирование ошибок происходит обычно в процессе обучения в вузах или путем  самообразования при использовании недоброкачественной литературы. 
	На первый  взгляд вызывает удивление устойчивость “низких статистических технологий”, их постоянное возрождение во все новых статьях, монографиях, учебниках. Поэтому, как ни странно, наиболее "долгоживущими" оказываются не работы, посвященные новым научным результатам, а публикации, разоблачающие ошибки, типа статьи [7]. Прошло больше 15 лет с момента ее публикации, но она по-прежнему актуальна, поскольку ошибочное применение критериев Колмогорова и омега-квадрат по-прежнему распространено.
Целесообразно рассмотреть здесь по крайней мере три обстоятельства, которые определяют эту устойчивость ошибок. 
Во-первых, прочно закрепившаяся традиция. Учебники по т.н. “Общей теории статистики”, написанные экономистами (поскольку учебная дисциплина "статистика" официально относится к экономике), если беспристрастно проанализировать их содержание, состоят в основном из введения в прикладную статистику, изложенного в стиле “низких статистических технологий”, на уровне 1950-х годов. К "низкой" прикладной статистике добавлена некоторая информация о деятельности органов Госкомстата РФ. Примерно таково же положение со статистическими методами в медицине - одни и те же "низкие статистические технологии" переписываются из книги в книгу. Кратко говоря,  “профессора-невежды порождают новых невежд” [9]. Так мы писали в 1990 г., но никто из указанных невежд даже не поинтересовался, какие ошибки имеются в виду.  Новое поколение, обучившись ошибочным алгоритмам, их использует, а с течением времени и достижением должностей, ученых званий и степеней– пишет новые учебники со старыми ошибками.
Руководство Госкомстата РФ, воспользовавшись катаклизмами начала 1990-х годов, сделало вид, что ему неизвестно о создании в 1990 г. Всесоюзной статистической ассоциации и секции статистических методов в ее составе. Госкомстат РФ по-прежнему закрыт от "высоких статистических технологий" и работает на уровне позапрошлого века. Защита стала надежнее, поскольку в соответствии с современным стилем аппаратной работы на письма и обращения можно не отвечать.
Второе обстоятельство связано с большими трудностями при оценке экономической эффективности применения статистических методов вообще и при оценке вреда от применения ошибочных методов в частности. (А без такой оценки как докажешь, что "высокие статистические технологии" лучше "низких"?) Некоторые соображения по первому из этих вопросов приведены в статье [3], содержащей  оценки экономической эффективности ряда работ по применению статистических методов. При оценке вреда от применения ошибочных методов приходится учитывать, что общий успех в конкретной инженерной или научной работе вполне мог быть достигнут вопреки их применению, за счет "запаса прочности" других составляющих общей работы. Например, преимущество одного технологического приема над другим можно продемонстрировать как с помощью критерия Крамера-Уэлча проверки равенства математических ожиданий (что правильно), так и с помощью двухвыборочного критерия Стьюдента (что, вообще говоря,  неверно, т.к. обычно не выполняются условия применимости этого критерия - нет ни нормальности распределения, ни равенства дисперсий). Кроме того, приходится выдерживать натиск невежд, защищающих свои ошибочные работы, например, государственные стандарты. Вместо исправления ошибок применяются самые разные приемы бюрократической борьбы с теми, кто разоблачает ошибки (подробнее см. [6]). 
Третье существенное обстоятельство – трудности со знакомством с высокими статистическими технологиями. В течение последних 10 лет только наш журнал предоставлял такие возможности. К сожалению, поток современных статистических книг, выпускавшихся, в частности, издательством “Финансы и статистика”, практически превратился в узкий ручеек… Возможно, более существенным является влияние естественной задержки во времени между созданием "новых статистических технологий" и написанием полноценной и объемной учебной и методической литературы. Она должна позволять знакомиться с новой методологией, новыми методами, теоремами, алгоритмами, технологиями не по кратким оригинальным статьям, а при обычном обучении.

 1.3. Как ускорить внедрение "высоких статистических технологий"?

	Таким образом, весь арсенал используемых статистических методов можно распределить по трем потокам:
-	высокие статистические технологии;
-	классические статистические технологии,
-	низкие статистические технологии.
Основная современная проблема статистических технологий состоит в том, чтобы в конкретных статистических исследованиях использовались только технологий  первых двух типов. Под классическими статистическими технологиями понимаем технологии почтенного возраста, сохранившие свое значение для современной статистической практики. Таковы метод наименьших квадратов, статистики Колмогорова, Смирнова, омега-квадрат, непараметрические коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла (относить их к "ранговым" - значит делать уступку "низким статистическим технологиям") и многие другие статистические процедуры.
	Каковы возможные пути решения основной современной проблемы в области статистических технологий? 
	Бороться с конкретными невеждами - дело почти безнадежное. Отстаивая свое положение и должности, они либо нагло игнорируют информацию о своих ошибках, как это делают авторы учебников по "Общей теории статистики", либо с помощью различных бюрократических приемов уходят и от ответственности, и от исправления ошибок по существу (как это было со стандартами по статистическим методам - см. статью [6]). Третий вариант  - признание и исправление ошибок - встречается, увы, редко. Но встречается.
	Конечно, необходима демонстрация квалифицированного применения высоких статистических технологий. В 1960-70-х годах этим занималась лаборатория акад. А.Н. Колмогорова в МГУ им. М.В. Ломоносова. Секция «Математические методы исследования» журнала «Заводская лаборатория» опубликовала за последние 40 лет более 1000 статей в стиле "высоких статистических технологий". В настоящее время действует Институт высоких статистических технологий и эконометрики МГТУ им. Н.Э.Баумана. Есть, конечно, целый ряд других научных коллективов, работающих на уровне "высоких статистических технологий".
	Но самое основное - обучение. Какие бы новые научные результаты ни были получены, если они остаются неизвестными студентам, то новое поколение исследователей и инженеров вынуждено осваивать их по одиночке, а то и переоткрывать. Т.е. практически новые научные результаты почти исчезают, едва появившись. Избыток публикаций превратился в тормоз развития. По нашим данным, к настоящему времени по статистическим технологиям опубликовано не менее миллиона статей и книг, из них не менее 100 тысяч являются актуальными для современного специалиста. Реальное число публикаций, которые способен освоить исследователь, по нашей оценке, не превышает 2-3 тысяч. Во всяком случае, в наиболее "толстом" на русском языке трехтомнике по статистике М. Дж. Кендалла и А. Стьюарта приведено около 2 тысяч литературных ссылок. Итак, каждый исследователь знаком не более чем с 2-3% актуальных литературных источников.  Поскольку существенная часть публикаций заражена "низкими статистическими  технологиями", то исследователь самоучка имеет мало шансов выйти на уровень "высоких статистических технологий". Одновременно приходится констатировать, что масса полезных результатов погребена в изданиях прошлых десятилетий и имеет мало шансов встать в ряды "высоких статистических технологий" без специально организованных усилий современных специалистов.
Итак, основное - обучение. Несколько огрубляя, можно сказать: что попало в учебные курсы и соответствующие учебные пособия - то сохраняется, что не попало - то пропадает. Подробнее об обучении - в конце статьи. Сейчас - об упомянутом выше Институте высоких статистических технологий и эконометрики МГТУ им. Н.Э.Баумана. 

1.4. Институт высоких статистических технологий и эконометрики
 
	Организованный в 1989 г. Институт высоких статистических технологий и эконометрики (ИВСТЭ) действует на базе кафедры ИБМ-2 “Экономика и организация производства” Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана. Институт на хоздоговорных и госбюджетных началах занимается развитием, изучением и внедрением "высоких статистических технологий", т.е. наиболее современных технологий анализа технических, экономических, социологических, медицинских данных, ориентированных на использование в условиях современного производства и экономики. Основной интерес представляют применения "высоких статистических технологий" для анализа конкретных экономических данных, т.е. в эконометрике. Из экономических дисциплин наиболее перспективным представляется  применение "высоких статистических технологий" для поддержки принятия управленческих решений, прежде всего в таком новом (для России) перспективном направлении экономической науки и практики, как контроллинг [10] .
	Вначале Институт действовал как Всесоюзный центр статистических методов и информатики Центрального правления Всесоюзного экономического общества. В 1990-1992 гг. было выполнено более 100 хоздоговорных работ, в том числе для НИЦентра по безопасности атомной энергетики, ВНИИ нефтепереработки, ПО “Пластик”, ЦНИИ черной металлургии им. Бардина, НИИ стали, ВНИИ эластомерных материалов и изделий, НИИ прикладной химии, ЦНИИ химии и механики, НПО “Орион”, ВНИИ экономических проблем развития  науки и техники, ПО “Уралмаш”, “АвтоВАЗ”, МИИТ, Казахского политехнического института, Донецкого государственного госуниверситета и многих других.
	Затем Институт в качестве Лаборатории эконометрических исследований разрабатывает эконометрические методы анализа нечисловых данных, а также процедуры расчета и прогнозирования индекса инфляции и валового внутреннего продукта (для Министерства обороны РФ). Мы занимаемся методологией построения и использования математических моделей процессов налогообложения  (для Министерства налогов и сборов РФ), методологией оценки рисков реализации инновационных проектов высшей школы (для Министерства промышленности, науки и технологий РФ). Институт оценивает влияние различных факторов на формирование налогооблагаемой базы ряда налогов (для Минфина РФ). Мы прорабатываем перспективы применения современных статистических и экспертных методов для анализа данных о научном потенциале (для Министерства промышленности, науки и технологий РФ). Важное направление связано с эколого-экономической тематикой - разработка методологического, программного и информационного обеспечения анализа рисков химико-технологических объектов (для Международного научно-технического центра), методов использования экспертных оценок в задачах экологического страхования (совместно с Институтом проблем рынка РАН). Институт проводит  маркетинговые исследования (в частности, для Institute for Market Research GfK MR Russia, Промрадтехбанка, фирм, торгующих растворимым кофе, программным обеспечением, образовательными услугами). Интерес вызывают наши работы  по прогнозированию социально-экономического развития России методом сценариев, по экономико-математическому моделированию развития малых предприятий и созданию современных систем информационной поддержки принятия решений для таких  организаций.
	Институт ведет фундаментальные исследования в области высоких статистических технологий и эконометрики, в частности, в рамках НИЧ факультета ИБМ МГТУ им. Н.Э. Баумана.  Информация об Институте представлена на сайте в ИНТЕРНЕТе (http://antorlov.nm.ru, но http://www.newtech.ru/~orlov), который ежегодно (с 2000 г.) посешают более 10000 пользователей. Институтом издается еженедельная компьютерная газета “Эконометрика” (около 1000 подписчиков). Архив выпусков газеты "Эконометрика" можно рассматривать как хрестоматию по различным разделам эконометрики, а также по высоким статистическим технологиям.

1.5. Зачем нужны высокие статистические технологии, 
разве недостаточно обычных статистических методов?

	Может возникнуть естественный вопрос: зачем нужны высокие статистические технологии, разве недостаточно обычных статистических методов?  Мы считаем и доказываем своими теоретическими и прикладными работами,  что совершенно недостаточно. Так, многие данные в информационных системах имеют нечисловой характер, например, являются словами или принимают значения из конечных множеств. Нечисловой характер имеют и упорядочения, которые дают эксперты или менеджеры, например, выбирая главную цель, следующую по важности и т.д.  Значит, нужна статистика нечисловых данных. Мы ее построили. Далее, многие величины известны не абсолютно точно, а с некоторой погрешностью - от и до. Другими словами, исходные данные - не числа, а интервалы. Нужна статистика интервальных данных. Мы ее развиваем.  В монографии [10] на с.138 хорошо сказано: "Нечеткая логика - мощный элегантный инструмент современной науки, который на Западе  (и на Востоке  - в Японии, Китае - А.О.)  можно встретить в десятках изделий - от бытовых видеокамер до систем управления сооружениями, - у нас до самого последнего времени был практически неизвестен". Напомним, первая монография российского автора по теории нечеткости была написана нами [11].  Ни статистики нечисловых данных, ни статистики интервальных данных, ни статистики нечетких данных нет и не могло быть в классической статистике. Все это - высокие статистические технологии. Они разработаны за последние 10-30-50 лет. А обычные вузовские курсы по общей теории  статистики и по математической статистике разбирают научные результаты, полученные в первой половине ХХ века.
 	Важная часть эконометрики - применение высоких статистических технологий к анализу  конкретных экономических данных, что зачастую требует дополнительной теоретической работы по доработке статистических технологий применительно к конкретной ситуации.  Большое значение имеют конкретные эконометрические модели, например, модели экспертных оценок или экономики качества. И конечно, такие конкретные применения, как расчет и прогнозирование индекса инфляции. Сейчас уже многих ясно, что годовой бухгалтерский баланс предприятия может быть использован для оценки его финансово-хозяйственной деятельности только с привлечением данных об инфляции.   
	Термин "эконометрика" пока мало известен в России. А между тем в мировой науке  эконометрика  занимает  достойное место. Нобелевские премии по экономике получили эконометрики  Ян Тильберген, Рагнар Фриш, Лоуренс Клейн, Трюгве Хаавельмо. В 2000 г. к ним добавились еще двое Джеймс Хекман и Дэниель Мак-Фадден. Выпускается ряд научных журналов, полностью посвященных эконометрике, в том числе: Journal of Econometrics (Швеция), Econometric Reviews (США), Econometrica (США), Sankhya (Indian Journal of Statistics. Ser.D. Quantitative Economics. Индия), Publications Econometriques (Франция).
Применение эконометрики дает заметный экономический эффект. Например, в США - не менее 20 миллиардов долларов ежегодно только в области статистического контроля качества. 
А что у нас? Повторим, что в секции "Математические методы исследования" журнала "Заводская лаборатория" за последние 40 лет напечатано более 1000 статей по высоким статистическим технологиям и их применениям. Однако в нашей стране по ряду причин эконометрика  не была сформирована  как  самостоятельное  направление научной и практической деятельности, в отличие, например, от Польши, не говоря уже об англосаксонских странах. В результате специалистов - эконометриков у нас на порядок меньше, чем в США и Великобритании (Американская статистическая ассоциация включает более 20000 членов).

1.6. Преподавание высоких статистических технологий и эконометрики

	Приходится с сожалением констатировать, что в России практически отсутствует подготовка специалистов по высоким статистическим технологиям. В курсах по теории вероятностей и математической статистике обычно даются лишь классические основы этих дисциплин, разработанные в первой половине ХХ в., а преподаватели свою научную деятельность предпочитают посвящать доказательству никому не нужных теорем, а не высоким статистическим технологиям.
 	В настоящее время появилась надежда на эконометрику. В России начинают развертываться эконометрические исследования и преподавание эконометрики, в том числе не только Институтом высоких статистических технологий и эконометрики. Преподавание этой дисциплины ведется в Московском государственном университете экономики, статистики и информатики (МЭСИ), на экономическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова и еще в нескольких экономических учебных заведениях. Среди технических вузов мы, факультет "Инженерный бизнес и менеджмент" МГТУ им. Н.Э.Баумана, имеем в настоящее время приоритет в преподавания эконометрики. 
В очень кратком виде приведем разработанное нами примерное содержание курса "Эконометрика": 
- структура современной эконометрики; 
- современная прикладная статистика и эконометрика; 
- современная теория измерений; 
- статистический анализ числовых величин и современная непараметрическая  статистика; 
- многомерный статистический анализ; 
- анализ и прогноз временных рядов; статистика нечисловых данных; 
- статистика интервальных данных;  
- проблема устойчивости статистических процедур; 
- эконометрические методы экспертных исследований; 
- эконометрические методы управления качеством, сертификации, диагностики и классификации продукции.   
 	Мы полагаем, что экономисты, менеджеры и инженеры, прежде всего специалисты по контроллингу [10], должны быть вооружены современными средствами информационной поддержки, в том числе высокими статистическими технологиями и эконометрикой. Очевидно, преподавание должно идти впереди практического применения. Ведь как применять то, чего не знаешь?
	Один раз - в 1990-1992 гг. мы уже обожглись на недооценке необходимости предварительной подготовки тех, для кого предназначены современные компьютерные средства.  Наш коллектив (Всесоюзный центр статистических методов и информатики Центрального правления Всесоюзного экономического общества) разработал систему диалоговых программных систем обеспечения качества продукции. Их созданием руководили ведущие специалисты страны. Но распространение программных продуктов шло  на 1-2 порядка  медленнее, чем мы ожидали. Причина стала ясна не сразу. Как оказалось, работники предприятий просто не понимали возможностей разработанных систем, не знали, какие задачи можно решать с их помощью, какой экономический эффект они дадут. А не понимали и не знали потому, что в вузах никто их не учил статистическим методам управления качеством. Без такого систематического обучения нельзя обойтись - сложные концепции "на пальцах" за 5 минут не объяснишь.
	Есть и противоположный пример - положительный. В середине 1980-х годов в советской средней школе ввели новый предмет "Информатика". И сейчас молодое поколение превосходно владеет компьютерами, мгновенно осваивая быстро появляющиеся новинки, и этим заметно отличается от тех, кому за 30-40 лет. Если бы удалось ввести в средней школе курс вероятности и статистики - а такой курс есть в Японии и США, Швейцарии, Кении и Ботсване, почти во всех странах [12], - то ситуация могла бы быть резко улучшена. Надо, конечно, добиться того, чтобы такой курс был построен на высоких статистических технологиях, а не на низких. Другими словами, он должен отражать современные достижения, а не концепции пятидесятилетней или столетней давности.
	Необходимо активизировать деятельность Российской ассоциации статистических методов. Но не стоит ограничиваться только внутренними проблемами сообщества специалистов по статистическим методам. Например, в  создаваемом  в России  профессиональном экономическом обществе - Ассоциации контроллеров - необходимо, на наш взгляд, выделить направление, посвященное применению высоких статистических технологий и эконометрики в контроллинге [10], а также учесть необходимость обучения основам этого направления при формировании  мощной  образовательной базы контроллинга.

2. Эконометрические методы классификации
 
	В разделе проанализированы различные научные направления в теории  классификации. Для этой области предложена система эконометрических методов. Рассмотрена проблема естественной классификации, обоснован тезис: критерий естественности - устойчивость. В вероятностной теории кластер-анализа  введен метод статистической проверки обоснованности объединения кластеров. Обоснована остановка через конечное число шагов для ряда итеративных алгоритмов построения диагностики. Найдено асимптотическое распределение «прогностической силы» алгоритма применения диагностики, разработан метод проверки возможности пересчета на модель линейного дискриминантного анализа. Изучены алгоритмы применения методов классификации, основанные на использовании непараметрических оценок плотностей вероятностей в пространствах произвольной природы, в частности, в дискретных пространствах.

2.1. Основные идеи эконометрической теории классификации

Среди методов классификации важное место занимают эконометрические  методы. Этой области научно-практической деятельности посвящен настоящий раздел, в котором обобщен опыт последних двадцати лет. Постоянно публикуются работы по конкретным эконометрическим методам классификации. Однако, только зная место каждого такого метода среди других, можно успешно планировать его практическое использование и дальнейшее теоретическое развитие.
Естественным было бы начать с определения термина «классификация» и затем перейти к описанию конкретных методов. Однако вокруг этого термина «нагромождено» столько, что без продолжительной разборки не обойтись. Конкретным общеизвестным методам место скорее в учебниках (см. ссылки ниже), чем в настоящем отчете. Поэтому сначала рассмотрим ситуацию «с птичьего полета», а потом приведем несколько новых результатов.
При внедрении современных статистических методов в практику технико-экономических исследований, при разработке соответствующих программных продуктов невозможно обойтись без классификации этих методов. Естественно исходить из вида обрабатываемых данных. В соответствии с работами [13, 14] делим прикладную статистику на четыре области:
- статистика случайных величин (одномерная статистика);
- многомерный статистический анализ;
- статистика временных рядов и случайных величин;
- статистика объектов нечисловой природы.
В первой области элемент выборки - число, во второй - вектор, в третьей - функция, в четвертой - объект нечисловой природы. Термин "объект нечисловой природы" относится к элементам математического пространства, не являющегося векторным (линейным). Их нельзя складывать, умножать на числа, в отличие от чисел, векторов и функций. Примерами являются бинарные отношения (упорядочения, разбиения на классы, толерантности); множества; нечеткие множества; результаты измерений в номинальной и порядковой шкалах (т.е. по качественным признакам), в частности, булевы вектора; вектора разнотипных признаков; тексты и т.д. (подробнее см., например, работы [15, 16]). 
Математический аппарат статистики объектов нечисловой природы базируется на использовании расстояний (мер близости, показателей различия) в пространствах таких объектов. Это вызвано отсутствием в таких пространствах операций суммирования, на которых основано большинство методов других областей статистики. Любые методы, использующие только расстояния (меры близости, показатели различия) между объектами, следует относить к статистике объектов нечисловой природы, поскольку такие методы могут работать с объектами произвольного пространства, если в нем задана метрика или ее аналоги. Таким образом, весьма многие математические методы классификации следует включать в статистику объектов нечисловой природы. Она является уже весьма развитой области прикладной математики. Ей посвящено несколько тысяч статей и  книг. Отметим сборник статей [17], включающий обзоры основных направлений данной области статистики, а в нем - статьи [18], рассказывающую о статистике объектов нечисловой природы «в целом», и [19], обсуждающую возможности аксиоматического введения в ней различных мер близости. Опубликован еще целый ряд обзоров как общего характера [20, 21], так и по отдельным направлениям - статистике разбиений [22], люсианов (бернуллиевских векторов) [23] и другим. Специфические методы анализа летописей описаны в монографии [24] и других изданиях, выпущенных группой академика РАН А.Т.Фоменко; результаты представляют несомненный интерес для историков, поскольку демонстрируют необходимость пересмотра традиционной хронологии.
В настоящем разделе рассматривается важное направление прикладной статистики – математические методы классификации. Основная их часть относится к статистике объектов нечисловой природы, а именно, методы классификации, основанные на расстояниях между объектами.

2.2. Основные направления в математической теории диагностики

Какие научные исследования относить к этой теории? Исходя из потребностей специалиста, применяющего математические методы классификации, целесообразно принять, что сюда входят исследования, во-первых, отнесенные самими авторами к этой теории; во вторых, связанные с ней общностью тематики, хотя бы их авторы и не упоминали термин «классификации». Это предполагает ее сложную внутреннюю структуру.
В литературных источниках наряду с термином «классификации» в близких смыслах используются термины «диагностика», «распознавание образов», «дискриминация», «группировка», «сортировка» и др. Терминологический  разнобой связан, прежде всего, с традициями научных кланов, к которым относятся авторы публикаций, а также с внутренним делением самой теории классификации.
В публикациях по современной теории классификации можно выделить два относительно самостоятельных направления. Одно из них опирается на опыт таких наук, как биология, география, геология, и таких прикладных областей, как ведение классификаторов продукции и библиотечное дело. Типичные объекты рассмотрения - классификация химических элементов (таблица Д.И. Менделеева), биологическая систематика, универсальная десятичная классификация (УДК). Опыт этого направления с гносеологических позиций обобщен в [25], соответствующий математический аппарат приведен в [26, 27].
Другое направление публикаций опирается на опыт технических исследований, медицины, социологии, экономики. Типичные задачи - техническая и медицинская диагностика, а также, например, разбиение на группы отраслей промышленности, тесно связанных между собой, выделение групп однородной продукции. В наиболее развитых прикладных областях обычно использует такие термины, как «распознавание образов» или «дискриминантный анализ» [28]. Краткое осмысление опыта и современного состояния этого направления дано в [29]. Оно опирается на математические модели; для проведения расчетов интенсивно используется ЭВМ. Однако относить его к математике столь же нецелесообразно, как астрономию или квантовую механику. Рассматриваемые математические модели можно и нужно изучать на формальном уровне, и такие исследования проводятся. Но направление в целом сконцентрировано на решении конкретных задач прикладных областей и вносит вклад в технические или экономические науки, медицину, социологию, но, как правило, не в математику. Использование математических методов как инструмента исследования нельзя относить к чистой математике.
 В 60-х годах XX века внутри прикладной математической статистики достаточно четко оформилась область, посвященная методам  классификации (см., например, [28-29]). Несколько модифицируя формулировки М.Дж. Кендалла и А. Стьюарта 1966 г. (см. русский перевод [30, с.437]), выделим три подобласти: дискриминация (дискриминантный анализ), кластеризация (кластер-анализ), группировка.
В дискриминантном анализе классы предполагаются заданными - плотностями вероятностей или обучающими выборками. Задача состоит в том, чтобы вновь поступающий объект отнести в один из этих классов. У понятия «дискриминация» имеется много синонимов: диагностика, распознавание образов с учителем, автоматическая классификация с учителем, статистическая классификация и т.д.
При кластеризации и группировке целью является выявление и выделение классов. Синонимы: построение классификации, распознавание образов без учителя,  автоматическая классификация без учителя, таксономия и др. Задача кластер-анализа «состоит в выяснении по эмпирическим данным, насколько элементы "группируются" или распадаются на изолированные "скопления", "кластеры"» [30, с.467]. Иными словами, задача - выявление «естественного разбиения на классы, свободного от субъективизма исследователя», а цель - выделение групп однородных объектов, сходных между собой, при резком отличии этих групп друг от друга.
При группировке, наоборот, «мы хотим разбить элементы на группы независимо от того, естественны ли границы разбиения или нет» [30, с.437]. Цель по-прежнему состоит в выявлении групп однородных объектов, сходных между собой (как в кластер-анализе), однако «соседние» группы могут не иметь резких различий (в отличие от кластер-анализа). Границы между группами условны, не являются естественными, зависят от субъективизма исследователя. Аналогично при лесоустройстве проведение просек (границ участков) зависит от специалистов лесного ведомства, а не от свойств леса.
Задачи кластеризации и группировки принципиально различны, хотя для их решения могут применяться одни и те же алгоритмы. Практически важная проблема состоит в том, чтобы понять, разрешима ли задача кластер-анализа для конкретных данных или возможна только их группировка, поскольку они достаточно однородны и не разбиваются на резко разделяющиеся между собой кластеры.
Как правило, в математических задачах кластеризации и группировки основное - метрика, расстояния между объектами, меры близости, сходства, различия. Хорошо известно, что для любого заданного разбиения объектов на группы и любого  > 0 можно указать метрику такую, что расстояния между объектами из одной группы будут меньше , а между объектами из разных групп - больше 1/. Тогда любой разумный алгоритм кластеризации даст именно заданное разбиение. Некоторые подходы к выбору расстояния в задачах классификации рассмотрены в обзоре [19].
Процитируем философа С.С. Розову: «Термином „классификация" (и его синонимами) обозначают, по крайней мере, три разные вещи: процедуру построения классификации (т.е. выделение классов, используемых при диагностике), построенную классификацию (т.е систему выделенных классов) и процедуру ее использования (те. отнесения вновь поступающего объекта к одному из ранее выделенных классов)» [25, с.6]. Другими словами, имеем естественную триаду: построение – изучение – использование классификации.
Как уже отмечалось, для построения системы диагностических классов используют разнообразные методы кластерного анализа и группировки объектов. Наименее известен второй член триады – изучение отношений эквививалентности, полученных в результате построения системы диагностических классов. Статистический анализ полученных, в частности экспертами, отношений эквививалентности - часть статистики бинарных отношений и тем самым - статистики объектов нечисловой природы. Помимо общих результатов этой области прикладной статистики, представляют интерес частные результаты, полученные специально для отношений эквивалентности [22]. 
Диагностика в узком смысле слова (процедура использования классификации, т.е. отнесения вновь поступающего объекта к одному из выделенных ранее классов) - предмет дискриминантного анализа. Как уже отмечалось [31], он является частным случаем общей схемы регрессионного анализа. Однако есть ряд специфических постановок, выделяющих задачи диагностики среди всех регрессионных задач.

2.3. О построении диагностических правил

Начнем с обсуждения одного распространенного заблуждения. Иногда рекомендуют сначала построить систему диагностических классов, а потом в каждом диагностическом классе отдельно проводить регрессионный анализ (в классическом смысле) или применять иные методы многомерного статистического анализа. Однако обычно забывают, что при этом нельзя опираться на вероятностную модель многомерного нормального распределения, так как не будет распределения результатов наблюдений, попавших в определенный кластер, будет отнюдь не нормальным, а усеченным нормальным (усечение определяется границами кластера), как это подробнее разъяснено в статье [32].
Процедуры построения диагностических правил делятся на вероятностные и детерминированные. К первым относятся задачи расщепления смесей [33]. В них предполагается, что распределение вновь поступающего случайного элемента является смесью вероятностных законов, соответствующих диагностическим классам. Как и при выборе степени полинома в регрессии [34, 35], при анализе данных о реальных материалах встает вопрос оценки числа элементов смеси, т.е. числа диагностических классов. В [32] изучены результаты применения обычно рекомендуемого критерия Уилкса для оценки числа элементов смеси. Оказалось, что оценка с помощью критерия Уилкса не является состоятельной, асимптотическое распределение этой оценки – геометрическое, как и в случае задач восстановления зависимости [34, 35]. Итак, продемонстрирована несостоятельность обычно используемых оценок. Для получения состоятельных оценок достаточно связать уровень значимости в критерии Уилкса с объемом выборки, как это предложено в работах [34, 35] для задач регрессии.
 Как уже отмечалось, задачи построения системы диагностических классов целесообразно разбить на два типа: с четко разделенными кластерами (задачи кластер-анализа) и с условными границами, непрерывно переходящими друг в друга классами (задачи группировки). Такое деление полезно, хотя в обоих случаях могут применяться одинаковые алгоритмы. Сколько же существует алгоритмов построения системы диагностических правил? Иногда называют то или иное число. На самом же деле их бесконечно много, что нетрудно доказать.
Действительно, рассмотрим один определенный алгоритм - алгоритм средней связи [36, с.102]. Он основан на использовании некоторой меры близости d(x,y) между объектами x и у. Легко проверить, что величина d a(x,y) также является мерой близости между x и у и порождает новый алгоритм. Если параметр а пробегает отрезок, то получается бесконечно много алгоритмов диагностики.
Каким из них пользоваться при обработке данных? Дело осложняется тем, что практически в любом пространстве данных мер близости различных видов существует весьма много [19]. Именно в связи с обсуждаемой проблемой нами в [37] рассматривается принципиальное различие между кластер-анализом и задачами группировки.
Если классы реальны [32], естественны, существуют на самом деле, четко отделены друг от друга, то любой алгоритм кластер-анализа их выделит. В [25, с. 206-209] приведен ряд критериев естественности диагностики, однако их невозможно, к сожалению, применить при обработке конкретных данных.
Ниже предлагается в качестве такого критерия рассматривать устойчивость относительно выбора алгоритма кластер-анализа.
Проверить устойчивость можно, применив к данным несколько подходов, например, столь непохожие алгоритмы, как «ближнего соседа» и «дальнего соседа» [36]. Если полученные результаты содержательно близки, то они адекватны действительности. В противном случае следует предположить, что естественной классификации не существует, задача кластер-анализа не имеет решения, и можно проводить только группировку.
Часто применяется т.н. агломеративный иерархический алгоритм «Дендрограмма» [36, с.100-103], в котором вначале все элементы рассматриваются как отдельные кластеры, а затем на каждом шагу объединяются два наиболее близких кластера. Для работы «Дендрограммы» необходимо задать правило вычисления расстояния между кластерами. Оно вычисляется через расстояние d(x,у) между элементами х и у. Поскольку функция da(x,y) при 0<a<1 также является расстоянием, то, как правило, существует бесконечно много различных вариантов этого алгоритма. Представим себе, что они применяются для обработки одних и тех же реальных данных. Если при всех а получается одинаковое разбиение элементов на кластеры, т.е. результат работы алгоритма устойчив по отношению к изменению а (в смысле общей схемы устойчивости, введенной в монографии [38]), то имеем «естественную» классификацию. В противном случае результат зависит от субъективно выбранного исследователем параметра а, т.е. задача кластер-анализа неразрешима (предполагаем, что выбор конкретного значения параметра а нельзя специально обосновать). Задача группировки в этой ситуации имеет много решений. Из них можно выбрать одно по дополнительным критериям.
Следовательно, получаем эвристический критерий: если решение задачи кластер-анализа существует, то оно находится с помощью любого алгоритма. Целесообразно использовать наиболее простой. Так, для классификации социально-психологических характеристик способных к математике школьников [39] был использован алгоритм [40]. На программирование и счет на ЭВМ ушло около полугода. Через несколько лет с помощью одного из вариантов «дендрограммы» - алгоритма «ближайшего соседа» [36, с.101] - кластер-анализ был проведен вручную за 1,5 часа. Результаты практически совпали!

2.4. Проблема поиска естественной классификации 
как основы диагностики

Существуют различные точки зрения на эту проблему [25, с. 202-213]. На Всесоюзной школе-семинаре «Использование математических методов в задачах классификации» (Пущино, 13-20 апреля 1986 г.), в частности, были высказаны мнения [29], что естественная классификация:
- закон природы;
- основана на глубоких закономерностях, тогда как искусственная классификация - на неглубоких;
- для конкретного индивида та, которая наиболее быстро вытекает из его тезауруса (упорядоченного объема личных знаний);
 - удовлетворяет многим целям; в то время как цель искусственной классификации задает человек;
- классификация с точки зрения потребителя продукции;
- классификация, позволяющая делать прогнозы;
- имеет критерием устойчивость.
Приведенные высказывания и соответствующий материал в [25] уже дают представление о больших расхождениях в понимании «естественной классификации». Этот термин является нечетким (в смысле математической  теории нечеткости [38, 41]), как, впрочем, и многие другие термины, как научно-технические, так и используемые в обыденном языке. 
В статье [41] подробно обоснована нечеткость естественного языка и тот факт, что «мы мыслим нечетко», что, однако, не слишком мешает нам решать производственные и жизненные проблемы. Кажущееся рациональным требование выработать сначала строгие определения, а потом развивать науку - невыполнимо. Следовать ему - значит отвлекать силы от реальных задач. При системном подходе (в интерпретации монографии [26]) к теории диагностики становится ясно, что строгие определения можно надеяться получить лишь на последних этапах построения теории. Мы же сейчас находимся чаще всего на первых этапах. Поэтому, не давая определения понятиям «естественная классификация» и «естественная диагностика», обсудим, как проверить на «естественность» классификацию (набор диагностических классов), полученную расчетным путем.
Можно выделить два критерия «естественности», по поводу которых имеется относительное согласие:
А. Естественная классификация должна быть реальной, соответствующей действительному миру, лишенной внесенного исследователем субъективизма;
Б. Естественная классификация должна быть важной или с научной точки зрения (давать возможность прогноза, предсказания новых свойств, сжатия информации и т.д.), или с практической.
Пусть классификация проводится на основе информации об объектах, представленной в виде матрицы «объект-признак» или матрицы попарных расстояний (мер близости). Пусть алгоритм классификации дал разбиение на кластеры. Как можно получить доводы в пользу естественности этой классификации? Например, уверенность в том, что она - закон природы, может появиться только в результате длительного ее изучения и практического применения. Это соображение относится и к другим из перечисленных в [25] и выше критериев, в частности к Б (важности). Сосредоточимся на критерии А (реальности).
Понятие «реальности» кластера требует специального обсуждения (оно начато в работе [32]). Снова вернемся к существу различий между понятиями «классификация» и «группировка». Пусть, к примеру, необходимо деревья, растущие в определенной местности, разбить на группы деревьев, находящихся рядом друг с другом. Ясна интуитивная разница между несколькими отдельными рощами, далеко отстоящими друг от друга и разделенными полями, и сплошным лесом, разбитым просеками на квадраты с целью лесоустройства. Однако формально определить эту разницу столь же сложно, как определить понятие «куча зерен», чем занимались еще философы школы Зенона в Древней Греции [41].
Переформулируем сказанное в терминах «кластер-анализа» и «методов группировки». Выделенные с помощью первого подхода кластеры реальны, а потому могут рассматриваться как кандидаты в «естественные». Группировка дает «искусственные» классы, которые не могут быть «естественными».
Выборку из унимодального распределения можно, видимо, рассматривать как «естественный», «реальный» кластер. Применим к ней какой-либо алгоритм классификации («Форель», «ближнего соседа» и т.п. [36]). Он даст разбиение на классы, которые, разумеется, не являются «реальными», поскольку отражают, прежде всего, свойства алгоритма, а не исходных данных. Как отличить такую ситуацию от противоположной, когда имеются реальные кластеры и алгоритм классификации более или менее точно их выделяет? Как известно, «критерий истины – практика», но слишком много времени необходимо для применения подобного критерия. Поэтому представляет интерес критерий, оценивающий «реальность» выделяемых с помощью алгоритма классификации кластеров одновременно с его применением.
Такой показатель существует - это критерий устойчивости. Устойчивость - понятие широкое. Общая схема постановки и изучения проблем устойчивости предложена в [38]. В частности, поскольку значения признаков всегда измеряются с погрешностями, то «реальное» разбиение должно быть устойчиво (т.е. не меняться или меняться слабо) при малых отклонениях исходных данных. Алгоритмов классификации существует бесконечно много, и «реальное» разбиение должно быть устойчиво по отношению к переходу к другому алгоритму. Другими словами, если возможно «реальное» разбиение на диагностические классы, то оно находится с помощью любого алгоритма автоматической классификация. Следовательно, критерием естественности классификации может служить совпадение результатов работы двух достаточно различающихся алгоритмов, например «ближнего соседа» и «дальнего соседа» [36].
Выше рассмотрены два типа «глобальных» критериев «естественности классификации», касающихся разбиения в целом. Есть и другой тип критериев - «локальные». 
Локальные критерии относятся к отдельным кластерам. Простейшая постановка такова: достаточно ли однородны два кластера (две совокупности) для их объединения? Если такое объединение возможно, то кластеры не являются «естественными». Преимущество этой постановки в том, что она допускает применение статистических критериев однородности двух выборок. В одномерном случае (классификация по одному признаку) разработано большое число подобных критериев — Смирнова, омега-квадрат (Лемана - Розенблатта), Вилкоксона, Ван-дер-Вардена, Стьюдента и др. [42]. Имеются критерии и для многомерных данных [33, 37]. Для одного из видов объектов нечисловой природы [23] - люсианов - статистические методы выделения «реальных» кластеров развиты в [43].
Что касается глобальных критериев, то для изучения устойчивости по отношению к малым отклонениям исходных данных естественно использовать метод статистических испытаний и проводить расчеты по «возмущенным» данным. Некоторые теоретические утверждения, касающиеся влияния «возмущений» на кластеры различных типов, получены в статье [32].
Несколько алгоритмов классификации были применены нами к данным [39]: широко известные алгоритмы «ближайшего соседа», «дальнего соседа» и алгоритм из статьи [40]. С содержательной точки зрения, полученные разбиения отличались мало. Поэтому есть основания считать, что с помощью этих алгоритмов действительно выявлена «реальная» структура данных.
Идея устойчивости как критерия «реальности» иногда реализуется неадекватно. Так, в статье [44] для однопараметрических алгоритмов предлагается выделять разбиения, которым соответствуют наибольшие интервалы устойчивости по параметру, т.е. наибольшие приращения параметра между очередными объединениями кластеров. Для данных [39] это предложение не дало полезных результатов - были получены различные разбиения: три алгоритма - три разбиения. И с теоретической точки зрения предложение [44] несостоятельно, что нетрудно показать.
Действительно, рассмотрим алгоритм «ближайшего соседа», использующий меру близости d(x,у), и однопараметрическое семейство алгоритмов с мерой близости da(x,y), а>0, также являющихся алгоритмами «ближайшего соседа». Тогда дендрограммы, полученные с помощью этих алгоритмов, совпадают при всех a, поскольку при их реализации происходит лишь сравнение мер близости между объектами. Другими словами, дендрограмма, полученная с помощью алгоритма «ближайшего соседа», является адекватной в порядковой шкале (измерения меры близости d(x,у)), т.е. сохраняется при любом строго возрастающем преобразовании этой меры [38]. Однако выделенные по методу [44] «устойчивые разбиения» меняются. В частности, при достаточно большом а «наиболее объективным» по [44] будет, как нетрудно показать, разбиение на два кластера! Таким образом, разбиение, выдвинутое в [44] как «устойчивое», на самом деле оказывается весьма неустойчивым.

2.5. Вероятностная теория кластер-анализа

Как и для прочих методов прикладной статистики, свойства алгоритмов кластер-анализа необходимо изучать на вероятностных моделях [32]. Это касается, например, условий естественного объединения двух кластеров. Робастная процедура проверки допустимости объединения предложена в [45], непараметрическая - в [37].
Вероятностные постановки нужно применять, в частности, при перенесении результатов, полученных по выборке, на генеральную совокупность [13]. Вероятностная теория кластер-анализа и методов группировки различна для исходных данных типа таблиц «объект x признак» и матриц сходства. Для первых параметрическая теория называется «расщеплением смесей» [36, гл.2]. Непараметрическая теория основана на непараметрических оценках плотностей вероятностей и их мод [31, 36, 46]. Основные результаты, связанные с непараметрическими оценками плотности, обсуждаются ниже.
Если исходные данные - матрица сходства ||d(x,y)||, то необходимо признать, что развитой вероятностно-статистической теории пока нет. Подходы к ее построению обсуждались в [32]. Одна из основных проблем - проверка «реальности» кластера, его объективного существования независимо от расчетов исследователя. Проблема «реальности» кластера давно обсуждается специалистами различных областей (см., например, [47]). Предположим, что результаты наблюдений можно рассматривать как выборку из некоторого распределения с монотонно убывающей плотностью при увеличении расстояния от некоторого центра. Примененный к подобным данным какой-либо алгоритм кластер-анализа порождает некоторое разбиение. Ясно, что оно - чисто формальное, поскольку выделенным таксонам (кластерам) не соответствуют никакие «реальные» классы. Другими словами, задача кластер-анализа не имеет решения, а алгоритм дает лишь группировку. При обработке реальных данных мы не знаем вида плотности. Проблема состоит в том, чтобы определить результат работы алгоритма (реальные кластеры или формальные группы).
Частный случай этой проблемы - проверка обоснованности объединения двух кластеров, которые мы рассматриваем как два множества объектов, а именно, {a1, a2,…, ak} и {b1, b2,…, bm}. Пусть, например, используется алгоритм типа «Дендрограммы». Ряд авторов высказывали следующую идею. Пусть есть две совокупности мер близости: внутри кластеров d(ai,aj), 1<i<j<k, d(b,b), 1<<<m и между кластерами d(ai,b), 1<i<k, 1<<m. Эти совокупности предлагается рассматривать как независимые выборки и проверять гипотезу о совпадении их функций распределения. Если гипотеза не отвергается, объединение кластеров считается обоснованным; в противном случае - объединять нельзя, алгоритм прекращает работу. В [48] для проверки однородности использовался критерий Вилкоксона U, а в [49] – критерий типа 2 (Лемана-Розенблатта).
В рассматриваемом подходе есть две некорректности. Во-первых, меры близости не являются независимыми случайными величинами. Во-вторых, не учитывается, что объединяются не произвольные заранее фиксированные кластеры, а полученные в результате работы некоторого  алгоритма, и их состав оказывается случайным [32, разд. 4]. От первой из этих некорректностей можно частично избавиться. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.1. Пусть a1, a2,…, ak, b1, b2,…, bm - независимые одинаково распределенные случайные величины (со значениями в произвольном пространстве). Пусть случайная величина d(а1,а2) имеет все моменты. Тогда при k,т  распределение статистики
 
(где U - сумма рангов элементов первой выборки в объединенной выборке; первая выборка составлена из внутрикластерных расстояний (мер близости) d(ai,aj), 1<i<j<k, и  d(b,b), 1<<<m, а вторая - из межкластерных d(ai,b), 1<i<k, 1<<m) сходится к стандартному нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.
	На основе теоремы 2.1 очевидным образом формулируется правило проверки обоснованности объединения двух кластеров. Другими словами, мы проверяем статистическую гипотезу, согласно которой объединение двух кластеров образует однородную совокупность. Если величина U слишком мала, статистическая гипотеза однородности отклоняется (на заданном уровне значимости), и возможность объединения отбрасывается. 

2.6. О вычислительной сходимости алгоритмов кластер-анализа

	Алгоритмы кластер-анализа и группировки зачастую являются итерационными. Например, формулируется правило улучшения решения задачи кластер-анализа шаг за шагом, но момент остановки вычислений не обсуждается. Примером является известный алгоритм "Форель", в котором улучшается положение центра кластера. В этом алгоритме на каждом шагу строится шар определенного заранее радиуса, выделяются элементы кластеризуемой совокупности, попадающие в этот шар, и новый центр кластера строится как центр тяжести выделенных элементов. При анализе алгоритма «Форель» возникает проблема: завершится ли процесс улучшения центра кластера через конечное число шагов или же он может быть бесконечным.  Она получила название «проблема остановки». Для широкого класса так называемых «эталонных алгоритмов»  проблема остановки была решена: доказано, что процесс улучшения остановится через конечное число шагов [32]. 
	Отметим, что алгоритмы кластер-анализа могут быть модифицированы разнообразными способами. Например, описывая алгоритм «Форель» в стиле статистики  объектов нечисловой природы, заметим, что вычисление центра тяжести для совокупности многомерных точек – это нахождение эмпирического среднего для меры близости, равной квадрату евклидова расстояния. Если взять более естественную меру близости – само евклидово расстояние, то получим алгоритм кластер-анализа «Медиана», отличающийся от «Форели» тем, что новый центр строится не с помощью средних арифметических координат элементов, попавших в кластер, а с помощью медиан. 
	Проблема остановки возникает не только при построении диагностических классов. Она принципиально важна и при оценивании параметров вероятностных распределений методом максимального правдоподобия. Обычно не представляет большого труда выписать систему уравнений максимального правдоподобия и предложить решать ее каким-либо численным методом. Однако когда остановиться, сколько итераций сделать, какая точность оценивания будет при этом достигнута? Общий ответ, видимо, невозможно найти, но обычно нет ответа и для конкретных семейств. Именно поэтому мы не рекомендуем решать системы уравнений максимального правдоподобия, предлагая вместо них одношаговые оценки [50]. Эти оценки задаются конечными формулами, но асимптотически столь же хороши, как и оценки максимального правдоподобия.

2.7. О сравнении алгоритмов диагностики 
по результатам обработки реальных данных

Перейдем к этапу применения диагностических правил, когда классы, к одному из которых нужно отнести вновь поступающий объект, уже выделены.
В прикладных исследованиях применяют различные методы дискриминантного анализа, основанные на вероятностных моделях (см., например, [33]), а также с ними не связанные, т.е. эвристические, в частности некогда популярный алгоритм «Кора» [36, 51]. Независимо от «происхождения», каждый подобный алгоритм должен быть исследован как на параметрических и непараметрических вероятностных моделях, так и на различных массивах реальных данных. Цель исследования - выбор наилучшего алгоритма в определенной области применимости, включение его в стандартные программные продукты, методические материалы, учебные пособия. Но для этого надо уметь сравнивать алгоритмы по качеству.
Часто используют показатель «вероятность правильной классификации» (при обработке конкретных данных - «частота правильной классификации»). В работе [52] показано, что он некорректен, а потому пользоваться им не рекомендуется. В настоящем разделе отчета предложен и изучен другой показатель - оценка специального вида т.н. «расстояния Махаланобиса» между классами. Изложение проведем на примере разработки программного продукта для специалистов по диагностике материалов. Прообразом является «АРМ материаловеда», разработанное для ВНИИ эластомерных материалов [6].
При построении информационно-исследовательской системы диагностики материалов (ИИСДМ) возникает задача сравнения прогностических правил «по силе». Прогностическое правило - это алгоритм, позволяющий по характеристикам материала прогнозировать его свойства. Если прогноз дихотомичен («есть» или «нет»), то правило является алгоритмом диагностики, при котором материал относится к одному из двух классов. Ясно, что случай нескольких классов может быть сведен к конечной последовательности  выбора между двумя классами.
Прогностические правила могут быть извлечены из научно-технической  литературы и практики. Каждое из них обычно формулируется в терминах небольшого числа признаков, но наборы признаков сильно меняются от правила к правилу. Поскольку в ИИСДМ должно фиксироваться лишь ограниченное число признаков, то возникает проблема их отбора. Естественно отбирать лишь те их них, которые входят в наборы, дающие наиболее «надежные» прогнозы. Для придания точного смысла термину «надежный» необходимо иметь способ сравнения алгоритмов диагностики по прогностической «силе».
Результаты обработки реальных данных с помощью некоторого алгоритма диагностики в рассматриваемом случае двух классов описываются долями: правильной диагностики в первом классе ; правильной диагностики во втором классе l; долей классов в объединенной совокупности pi, i = 1,2; p1 + p2 = 1. 
Величины , l, p1, p2  определяются ретроспективно. 
Нередко как показатель качества алгоритма диагностики (прогностической «силы») используют долю правильной диагностики
.
Однако m определяется через характеристики p1, p2  частично заданные исследователем (например, на них влияет тактика отбора образцов для изучения). В аналогичной медицинской задаче величина m оказалась больше для тривиального прогноза (у всех больных течение заболевания будет благоприятно), чем для использованного в [51] алгоритма выделения больных с прогнозируемым тяжелым течением заболевания, применение которого с медицинской точки зрения вполне оправдано. Поэтому, на наш взгляд, долю правильной диагностики m нецелесообразно использовать как показатель качества алгоритма диагностики.
Применение теории статистических решений требует знания потерь от ошибочной диагностики, а в большинстве научно-технических и экономических задач определить потери сложно. В частности, из-за необходимости оценить человеческую жизнь в денежных единицах. По этическим соображениям это недопустимо.
Для выявления информативного набора признаков целесообразно использовать метод пересчета на модель линейного дискриминантного анализа [52], согласно которому статистической оценкой прогностической «силы» является
где Ф - функция нормального распределения вероятностей с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, а Ф-1 - обратная ей функция.
Если классы описываются выборками из многомерных нормальных совокупностей с одинаковыми матрицами ковариаций, а для классификации применяется линейный дискриминантный анализ Р.Фишера, величина d* представляет собой статистическую оценку расстояния Махаланобиса между совокупностями, независимо от порогового значения, определяющего конкретное решающее правило. В общем случае показатель d*  вводится как эвристический.
Пусть алгоритм классификации применяется к совокупности, состоящей из т объектов первого класса и n объектов второго класса.
Теорема 2.2. Пусть т, п. Тогда для всех х
,
где d  - истинная прогностическая «сила» алгоритма диагностики; d* - ее эмпирическая оценка
;
где ф(х)= Ф'(х) - плотность стандартного нормального распределения вероятностей.
С помощью теоремы 2.2 по k и l обычным образом определяют доверительные границы для прогностической «силы» d.
Как проверить обоснованность пересчета на модель линейного дискриминантного анализа? Допустим, что классификация состоит в вычислении прогностического индекса у и сравнении его с некоторым порогом с; объект относят к первому классу, если у<с, ко второму, если у>с. Возьмем два значения порога с1 и c2. Если пересчет на модель обоснован, то прогностические «силы» для обоих правил совпадают: d(c1)=d(c2). Эту статистическую гипотезу можно проверить.
Пусть k1 - доля объектов первого класса, для которых y<c1, а k2 - доля объектов второго класса, для которых c1<y<c2. Аналогично пусть l2 - доля объектов второго класса, для которых c1<y<c2, а l3 - для которых у>с2. Тогда можно рассчитать две оценки одного и того же расстояния Махаланобиса. Они имею вид:
d*(с1)=Ф-1(k1)+Ф-1(l2+l3),
d*(с2)=Ф-1(k1+k2)+Ф-1(l3).
Теорема 2.3. Если т,п, d(c1)=d(c2), то при всех х
,
где
;
.
Из теоремы 2.3 вытекает метод проверки рассматриваемой гипотезы: при выполнении неравенства

она принимается на уровне значимости, асимптотически равном a, в противном случае - отвергается.
Для решения задач диагностики используют два подхода – параметрический и непараметрический. Первый из них обычно основан на использовании того или иного индекса и сравнения его с порогом. Индекс может быть построен по статистическим данным, например, как в линейном дискриминантном анализе Фишера [33]. Часто индекс представляет собой линейную функцию, коэффициенты которой подбирают эмпирически. Непараметрический подход связан с леммой Неймана-Пирсона в математической статистике и с теорией статистических решений. Он опирается на использование непараметрических оценок плотностей распределений вероятностей, описывающих диагностические классы. 

2.8. Математические методы диагностики 
на основе непараметрических оценок плотности 

	Математические методы диагностики, как и статистические методы в целом, делятся на параметрические и непараметрические. Первые основаны на предположении, что классы описываются распределениями из некоторых параметрических семейств. Обычно рассматривают многомерные нормальные распределения, при этом зачастую принимают гипотезу о том, что ковариационные матрицы для различных классов совпадают. Именно в таких предположениях сформулирован классический дискриминантный анализ Фишера. Как известно, обычно нет оснований считать, что наблюдения извлечены из нормального распределения. 
Поэтому более корректными, чем параметрические, являются непараметрические методы диагностики. Исходная идея таких методов основана на лемме Неймана-Пирсона, входящей в стандартный курс математической статистики. Согласно этой лемме решение об отнесении вновь поступающего объекта (сигнала, наблюдения и др.) к одному из двух классов принимается на основе отношения плотностей f(x)/g(x), где f(x) - плотность распределения, соответствующая первому классу, а  g(x) - плотность распределения соответствующая второму классу. Если плотности распределения неизвестны, то применяют их непараметрические оценки, построенные по обучающим выборкам. Пусть обучающая выборка объектов из первого класса состоит из n элементов, а обучающая выборка для второго класса - из  m объектов. Тогда рассчитывают значения непараметрических оценок плотностей fn(x) и gm(x) для первого и второго классов соответственно, а диагностическое решение принимают по их отношению. Таким образом, для решения задачи диагностики достаточно научиться строить непараметрические оценки плотности для выборок объектов произвольной природы.
Как уже отмечалось, в нашей стране с середины 70-х годов ХХ в. активно разрабатываются методы статистического анализа нечисловых данных [14-16], поскольку развитие прикладных исследований привело к необходимости рассмотрения в качестве статистических данных различных объектов нечисловой природы. Так принято называть элементы пространств, не являющихся линейными (векторными). Примерами объектов нечисловой природы являются бинарные отношения (ранжировки, разбиения, толерантности и т.д.); множества; нечеткие множества; результаты измерений в шкалах, отличных от абсолютной; как обобщение перечисленных объектов - элементы пространств общей природы. Для нечисловых результатов наблюдений разработаны [14-16] методы решения классических задач статистики. А именно, задач трех классических типов - описания данных (включая классификацию), оценивания (параметров, характеристик, плотности распределения, регрессионной зависимости и т.д.), проверки гипотез.
	Математический аппарат статистики объектов нечисловой природы основан не на свойстве линейности пространства и использовании разнообразных сумм элементов выборок и функций от них, как в классической статистике, а на применении показателей различия, мер близости, метрик, поэтому существенно отличается от классического. В статистике нечисловых данных выделяют [14-16] общую теорию и статистику в конкретных пространствах нечисловой природы (например, статистику ранжировок). В общей теории есть два основных сюжета. Один связан со средними величинами и асимптотическим поведением решений экстремальных статистических задач, второй - с непараметрическими оценками плотности. Именно ему в связи с задачами диагностики посвящена заключительная часть настоящего раздела отчета.
	Понятие плотности в пространстве произвольной природы Х требует специального обсуждения. В нем должна быть выделена некоторая специальная мера , относительно которой будут рассматриваться плотности, соответствующие другим мерам, например, мере , задающей распределение вероятностей некоторого случайного элемента . В таком случае (А) = Р(А) для любого случайного события А. Плотность f(x), соответствующая мере  - это такая функция, что  

для любого случайного события А. Для случайных величин и векторов мера  - это объем множества А, в математических терминах - мера Лебега. Для дискретных случайных величин и элементов со значениями в конечном множестве Х в качестве меры  естественно использовать считающую меру, которая событию А ставит в соответствие число его элементов. Используют также нормированную случайную меру, когда число точек в множестве А делят на число точек во всем пространстве Х. В случае считающей меры значение плотности в точке х совпадает с вероятностью попасть в точку х, т.е. справедливо тождество f(x) = Р(ξ = х). Таким образом, с рассматриваемой точки зрения стирается грань между понятиями «плотность вероятности» и «вероятность».
	Не пытаясь рассмотреть все многообразие методов диагностики в статистике объектов нечисловой природы (см., например, [29]), сосредоточимся на тех из них, которые используют плотности распределения и их оценки. Зная плотности распределения классов, можно решать основные задачи диагностики - как задачи выделения кластеров, так и задачи отнесения вновь поступающего объекта к одному из диагностических классов. В задачах кластер-анализа можно находить моды плотности и принимать их за центры кластеров или за начальные точки итерационных методов типа динамических сгущений. В задачах собственно диагностики (дискриминации, распознавания образов с учителем) можно принимать решения о диагностике объектов на основе отношения плотностей, соответствующих классам. При неизвестных плотностях представляется естественным использовать их состоятельные оценки. 
	Методы оценивания плотности вероятности в пространствах общего вида предложены и первоначально изучены в [53]. В частности, в задачах диагностики объектов нечисловой природы предлагаем использовать непараметрические ядерные оценки плотности типа Парзена-Розенблатта (этот вид оценок и его название введены в статье [53] ). Они имеют вид:

 где К:  - так называемая ядерная функция, x1, x2, …, xn  X  - выборка, по которой оценивается плотность, d(xi , x)  - показатель различия (расстояние, мера близости) между элементом выборки xi  и точкой x, в которой оценивается плотность, последовательность hn  показателей размытости такова, что hn 0 и nhn при , а  - нормирующий множитель, обеспечивающий выполнение условия нормировки (интеграл по всему пространству от непараметрической оценки плотности fn(x) по мере  должен равняться 1).
	Только что введенные ядерные оценки плотности - частный случай линейных оценок [53]. В теоретическом плане они выделяются тем, что  удается получать результаты такого же типа, что в классическом одномерном случае, но, разумеется, с помощью совсем иного математического аппарата.

2.9. Свойства непараметрических ядерных оценок плотности

	Будем рассматривать выборку со значениями в некотором пространстве произвольного вида. В этом пространстве предполагаются заданными показатель различия d и мера . Одна из основных идей рассматриваемого подхода состоит в том, чтобы согласовать их между собой. А именно, на их основе построим новый показатель различия d1 , так называемый "естественный", в терминах которого проще формулируются свойства непараметрической оценки плотности. Для этого рассмотрим шары  радиуса t>0 и их меры Fx(t) = (Lt(x)). Предположим, что Fx(t) как функция t при фиксированном x непрерывна и строго возрастает. Введем функцию d1(x,y)= Fx(d(x,y)).	Это - монотонное преобразование показателя различия или расстояния, а потому d1(x,y) - также показатель различия (даже если d - метрика, для d1 неравенство треугольника может быть не выполнено). Другими словами, d1(x,y), как и d(x,y), можно рассматривать как показатель различия (меру близости) между x и y. 
	Для вновь введенного показателя различия d1(x,y) введем соответствующие шары . Поскольку обратная функция F -1x(t) определена однозначно, то , где T = F -1x(t). Следовательно, справедлива цепочка равенств F1x(t) = (L1t(x)) = (LT(x)) = Fx(F -1x(t)) = t. 
 	Переход от d к d1 напоминает классическое преобразование, использованное Н.В. Смирновым при изучении непараметрических критериев согласия и однородности, а именно, преобразование , переводящее случайную величину  с непрерывной функцией распределения F(x) в случайную величину ,  равномерно  распределенную  на отрезке [0,1]. Оба рассматриваемых преобразования существенно упрощают дальнейшие рассмотрения. Преобразование d1= Fx(d) зависит от точки x, что не влияет на дальнейшие рассуждения, поскольку  ограничиваемся изучением сходимости в отдельно взятой точке.
	Функцию d1(x,y), для которой мера шара радиуса t равна t, называем в соответствии с работой [53] «естественным показателем различия» или «естественной метрикой». В случае конечномерного пространства Rk и евклидовой метрики d имеем d1(x,y) = ck d k (x,y), где ck  - объем шара единичного радиуса в Rk .
	Поскольку можно записать, что 
,
где 
,
 то переход от d к d1 соответствует переходу от K к K1. Выгода от такого перехода заключается в том, что утверждения о поведении непараметрических оценок плотности приобретают более простую формулировку.
	Теорема 2.4. Пусть d - естественная метрика, плотность f  непрерывна в точке x  и ограничена на всем пространстве X , причем f(x)>0, ядерная функция K(u) удовлетворяет простым условиям регулярности
.
Тогда n(hn , x) = nhn , оценка fn(x)  является состоятельной, т.е.  fn(x) f(x) по вероятности при n и, кроме того,
.
	Теорема 2.4 доказывается методами, развитыми в [53]. Однако остается открытым вопрос о скорости сходимости ядерных оценок,  в частности, о поведении величины n = M(fn(x)-f(x))2 - среднего квадрата ошибки,  и об оптимальном выборе показателей размытости  hn . Для того, чтобы продвинуться в решении этого вопроса, введем новые понятия. Для случайного элемента X() со значениями в X рассмотрим круговое распределение G(x,t) = P{d(X(), x)<t}  и круговую плотность g(x,t)= G't(x,t).
	Теорема 2.5. Пусть ядерная функция K(u) непрерывна и финитна, т.е. существует число E такое, что K(u)=0 при u>E. Пусть круговая плотность является достаточно гладкой, т.е. допускает разложение

при некотором k, причем остаточный член равномерно ограничен на [0,hE]. Пусть
Тогда 

	Доказательство теоремы 2.5 проводится  с помощью  разработанной в статистике объектов нечисловой природы математической техники, образцы которой представлены, в частности, в [53]. Если коэффициенты при основных членах в правой части последней формулы не равны 0, то величина n достигает минимума, равного при  Эти выводы совпадают с классическими результатами, полученными ранее рядом авторов для весьма частного случая прямой X = R1 (см. [54, с.316]). Заметим, что для уменьшения смещения оценки приходится применять знакопеременные ядра K(u).

2.10. Непараметрические оценки плотности в конечных пространствах

 	В случае конечных пространств естественных метрик не существует. Однако можно получить аналоги теорем 2.4 и 2.5, переходя к пределу не только по объему выборки n, но и по параметру дискретности m.
	Рассмотрим некоторую последовательность Xm , m = 1,2,…- конечных пространств. Пусть в Xm заданы показатели различия dm . Будем использовать нормированные считающие меры  ставящие в соответствие каждому подмножеству А долю элементов всего пространства Xm , входящих в А. Как и ранее, рассмотрим как функцию t объем шара радиуса t, т.е. Введем аналог естественного показателя различия Наконец, рассмотрим аналоги преобразования Смирнова  Функции , в отличие от ситуации предыдущего раздела, уже не совпадают тождественно с t, они кусочно постоянны и имеют скачки в некоторых точках ti , i =1,2,…, причем 
	Теорема 2.6. Пусть точки скачков равномерно сближаются, т.е.   при  (другими словами,-t| при ). Тогда существует последовательность параметров дискретности mn такая, что при предельном переходе  справедливы заключения теорем 4 и 5.
 	Пример 2.1. Пространство  всех подмножеств конечного множества  из m элементов допускает [38] аксиоматическое введение метрики  где  - символ симметрической разности множеств. Рассмотрим непараметрическую ядерную оценку плотности типа Парзена - Розенблатта 

где  - функция нормального стандартного распределения. Можно показать, что эта оценка удовлетворяет условиям теоремы 6 с 
	Пример 2.2. Рассмотрим пространство функций  определенных на конечном множестве , со значениями в конечном множестве . Это пространство можно интерпретировать как пространство нечетких множеств [38], а именно, Yr - носитель нечеткого множества, а Zq - множество значений функции принадлежности. Очевидно, число элементов пространства Xm равно (q+1)r . Будем использовать расстояние  Непараметрическая оценка плотности имеет вид:

Если , то при > выполнены условия теоремы 6, а потому справедливы теоремы 2.4 и 2.5.
	Пример 2.3. Рассматривая пространства ранжировок m объектов, в качестве расстояния d(A,B) между ранжировками A и B примем минимальное число инверсий, необходимых для перехода от A к B. Тогда max(ti -ti-1)  не стремится к 0 при , условия теоремы 6 не выполнены.
	Пример 2.4. В прикладных работах наиболее распространенный пример объектов нечисловой природы – вектор разнотипных данных: реальный объект описывается вектором, часть координат которого - значения количественных признаков, а часть - качественных (номинальных и порядковых). Для пространств разнотипных признаков, т.е. декартовых произведений непрерывных и дискретных пространств, возможны различные постановки. Пусть, например, число градаций качественных признаков остается постоянным. Тогда непараметрическая оценка плотности сводится к произведению частоты попадания в точку в пространстве качественных признаков на классическую оценку Парзена - Розенблатта в пространстве количественных переменных. В общем случае расстояние d(x,y) можно, например, рассматривать как сумму трех расстояний. А именно, евклидова расстояния d1 между количественными факторами, расстояния d2 между номинальными признаками (d2(x,y) = 0, если x = y, и d2(x,y) = 1, если ) и расстояния d3 между порядковыми переменными (если x и y - номера градаций, то d3(x,y) = |x - y|). Наличие количественных факторов приводит к непрерывности и строгому возрастанию функции Fmx(t), а потому для непараметрических оценок плотности в пространствах разнотипных признаков верны теоремы 2.4 – 2.5.

2.11. Теоретические и практические работы по классификации

	Математические методы диагностики весьма различны и имеют разнообразные применения. В рамках одной статьи все такие методы описать невозможно. Ряд иных задач диагностики рассмотрен в [32, 46]. Укажем некоторые публикации, относящиеся к тематике настоящего раздела отчета. К первому из выделенных в п.2.2 выше направлений в теории классификации (т.е. к публикациям [25-27]) примыкают, в частности, монографии [55, 56]. Ко второму направлению - сборники и монографии [57-66]. Всего публикаций по теории классификации (монографий, статей, тезисов и трудов конференций и др.) – десятки тысяч. В 1980-х гг. вопросами диагностики и построения классификаций активно занималась Комиссия ВСНТО по классификации  (председатель – член-корреспондент АН СССР Г.Б. Бокий), включившая в свою деятельность около тысячи специалистов. Тем не менее математические методы классификации остаются чуть ли не самой хаотичной областью математических методов исследования. 
	Описанные в настоящем разделе отчета подходы и результаты применялись в работах Института высоких статистических технологий и эконометрики МГТУ им. Н.Э. Баумана при решении ряда прикладных задач, в частности, при сертификации продукции, в задачах химической безопасности биосферы и экологического страхования, в медицине труда. Соответствующие алгоритмы включены в состав «АРМ материаловеда» и «АРМ математика» (разработаны для ВНИИ эластомерных материалов и изделий), АРМ "Математика в экспертизе" (АРМ "МАТЭК"), диалоговых систем анализа статистических данных ДИСАН и ППАНД. Рассмотренные в настоящем разделе отчета подходы и результаты математической теории диагностики использовались также в учебном процессе (МГТУ им. Н.Э. Баумана, Межвузовский центр экономического образования, МГИЭМ (ту), Институт маркетинговых исследований и др.).

3. Применение эконометрических методов
при решении задач контроллинга

	Эконометрика – один из наиболее эффективных инструментов контроллинга. Специалисты владеют этим инструментом. Поэтому они обычно рассказывают о полученных результатах, а не о приемах использования инструмента. В результате следующее поколение может и не познакомиться с основами, ограничившись повторением общих слов. Особенно актуальна эта проблема для современной России, в которой идет бурный процесс внедрения контроллинга. 
	В статье [67] рассмотрены общие проблемы применения эконометрических методов при решении задач контроллинга. Описанию конкретных методов эконометрики посвящен учебник [68]. В настоящем разделе рассмотрены конкретные задачи контроллинга, для решения которых необходимо использовать методы эконометрики.

3.1. Термин «эконометрика»

	Однако вначале необходимо обсудить содержание термина «эконометрика». Согласно энциклопедическим источникам, эконометрика – это наука, изучающая конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей [69]. Такие методы успешно используются в зарубежных и отечественных экономических и технико-экономических исследованиях, работах по управлению (менеджменту). Применение прикладной статистики и других эконометрических методов дает заметный экономический эффект. Например, в США - не менее 20 миллиардов долларов ежегодно только в области статистического контроля качества.  
	В литературе встречается и более узкое понимание эконометрики. Так, в одном из наиболее распространенных в России вводных курсов западной экономической теории сказано: "Статистический анализ экономических данных называется эконометрикой, что буквально означает: наука об экономических  измерениях" [70, с.25]. Согласно учебнику [68] эконометрические методы - это прежде всего методы статистического анализа конкретных экономических данных, естественно, с помощью компьютеров. В отличие от формулировок в энциклопедических источниках, здесь из эконометрики исключаются, например, оптимизационные задачи. Это оправдано с точки зрения преподавания, поскольку в настоящее время методы статистического анализа и методы оптимизации рассматриваются в разных учебных курсах. 
	Однако при решении практических задач производственного менеджмента и контроллинга придерживаться такого разделения нет оснований. Поэтому в настоящем разделе отчета примем приведенное выше определение Большого Энциклопедического Словаря [69], согласно которому термин «эконометрика» фактически является синонимом термину «математические методы в экономике». 
	Точнее, в эконометрику не включают абстрактные экономико-математические методы и модели, не связанные с изучением конкретных явлений и процессов, например, теоремы о существовании точки равновесия. Однако подобные методы и модели, как правило, не используются при решении практических задач.

3.2. Эконометрика в работах отечественных контроллеров

	В каждом номере журнала «Контроллинг» приведены многочисленные ссылки на эконометрические инструменты. Так, С.Г. Фалько, К.А. Рассел и Л.Ф. Левин, анализируя знания, навыки и способности, необходимые контроллерам в США, выделяют оптимизацию процессов, а также компьютерные системы и операции [71]. Методы многокритериальной оптимизации позволяют согласовать цели предприятия за счет собственных и заемных источников финансирования [72]. Рассматривая место системы внутрифирменного контроллинга в функциональной структуре управления, Н.Г. Данилочкина выделяет блоки анализа, контроля, прогнозирования, оптимизации [73]. Во всех этих блоках велика доля эконометрических методов. Так, при выборочном контроле совокупности объектов необходимо применять методы статистического контроля, а при контроле процессов – методы обнаружения разладки. Прогнозирование базируется либо на объективных статистических данных, и тогда применяется метод наименьших квадратов и другие методы регрессионного анализа, либо на субъективных мнениях экспертов, и тогда используется теория экспертных оценок [68].
	Экспертные оценки широко используются при решении задач контроллинга. Для планирования продуктовой программы предприятия [74] и для оценки эффективности работы подразделения контроллинга [75] разработаны и подробно описаны конкретные методы сбора и анализа оценок экспертов.
	Большое место в задачах управления, в том числе в контроллинге, занимают показатели эффективности. В монографии О.А. Дедова [76] рассмотрена система из 512 ключевых показателей экономической эффективности, имеющих широкое применение в странах с рыночной экономикой. Ясно, что из-за ограниченных возможностей человеческого мозга непосредственно использовать для управления значения 512 показателей нельзя. Приходится применять интегральные (обобщенные, итоговые) показатели, построенные на основе исходных показателей. Построению частных и интегральных показателей по уровням управления предприятием посвящена статья [77]. 
	Эконометрика качества [68, гл.13] необходима В.В. Марущенко для организации поэтапного проведения реинжиниринга бизнес-процессов [78]. В работе [79] показано, что на всех этапах «петли качества», описывающей жизненный цикл продукции с точки зрения организатора производства, следует использовать эконометрические методы.
	Отметим любопытное обстоятельство, связанное с соотношением объемов текстов, выделяемых для описания различных вопросов управления качеством. В одной из первых публикаций [80] Международной организации по стандартизации (ИСО) глава по управлению качеством почти полностью состояла из рассмотрения методов статистического приемочного контроля и других методов эконометрики качества. Другими словами, управление качеством практически приравнивалось к эконометрике качества. А вот в современном учебнике по качеству [81] содержится много материала по организации управления качеством, но статистический приемочный контроль не рассматривается (а контрольным картам уделено 5,5 стр.). Как могло появиться подобное сочинение, дезориентирующее читателей? 
	В стандартах ИСО серии 9000, посвященных менеджменту качества, статистические методы управления качеством указывались как необходимый элемент систем качества. При этом содержание этого элемента не раскрывалось. Почему? Да потому, что по этой тематике действовали многочисленные стандарты ИСО, а также региональные (например, стандарты CЭВ) и национальные стандарты [6]. Короче, статистические методы управления качеством были хорошо известны всем специалистам. 
	Затем к проблеме качества обратились новые лица. Они знали только стандарты ИСО серии 9000, но не знали всей предыстории. Вполне естественно, что они стали писать учебники, исходя из своих знаний. В результате следующее поколение, выучившись по учебникам типа [81], не сможет проанализировать нормативно-техническую документацию по управлению качеством, в том числе стандарты и договора на поставку (разделы «Правила приемки и методы контроля») и тем более не смогут спроектировать оптимальную систему контроля. Историю деградации текстов по управлению качеством необходимо учесть при развитии работ по обучению и внедрению контроллинга. 
	Кроме эконометрических моделей управления качеством при решении задач контроллинга используются и другие вероятностно-статистические математические модели. Так, при информационном моделировании, имеющем целью реинжиниринг бизнес-процессов, В.В. Марущенко и А.В. Марущенко опирались на теорию массового обслуживания [82]. 

3.3. Эконометрика в производственном менеджменте

	Для получения более объемной картины использования эконометрических методов при управлении деятельностью организации обратимся к производственному менеджменту – основе контроллинга. Проанализируем учебник [83], подготовленный кафедрой «Экономика и организация производства» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. В нем более 20 раз используются эконометрические методы и модели, что свидетельствует об эффективности такого инструмента менеджера, как эконометрика. 
	Приведем примеры. Методы восстановления зависимости (регрессионного анализа) используются при изучении динамики производственных затрат в период освоения производства [83, с.95-97]. В частности, для выявления закономерностей изменения трудоемкости изготовления единицы продукции, снижения себестоимости и других показателей с течением времени или с ростом объемов изготовления и др. При нормировании труда косвенные методы основаны на регрессионном анализе. Более того, разработанная НИИтруда формула для определения численности специалистов по функции «организация и оплата труда» также получена с его помощью [83, с.308-309]. Интегральный критерий эффективности проекта, применяемый при планировании инновационных процессов, строится с помощью многомерного статистического анализа [83, с.101].  
	Постоянно возникает необходимость строить те или иные интегральные показатели (критерии), объединяющие значения частных (единичных или групповых) показателей. Необходимо упомянуть суммарный показатель качества продукции или проекта [83, с.244], коэффициент качества инженерного труда [83, с.269].    
	В производственном менеджменте часто используются задачи оптимизации. Так, с целью рационального расположения на территории завода складских помещений, заготовительных цехов, участков, оборудования решают задачу минимизации суммарных грузопотоков. Для максимально возможного совмещения отдельных производственных процессов во времени, что может существенно сократить время от запуска в производство до выпуска готовой продукции, решают соответствующую оптимизационную задачу [83, с.121-122]. Методы сокращения производственного цикла, в том числе снижения затрат труда на основные технологические операции, сокращения затрат времени на транспортные, складские и контрольные операции, предполагают применение методов оптимизации, в том числе дискретной оптимизации [83, с.134-136].  
	Особенно заметна роль оптимизации в задачах планирования производственно-хозяйственной деятельности предприятия. В качестве одного из основных принципов планирования выдвигается принцип оптимальности. Предполагается построение экономико-математической модели объекта планирования, включающей целевую функцию по принятому критерию оптимальности и систему ограничений [83, с.339]. Среди основных методов планирования указаны экономико-математические методы [83, с.342]. Подробно рассматривается математическая модель построения оптимального плана реализации продукции, сводящаяся к задаче линейного программирования [83, с.352-354]. При планировании рыночных цен на продукцию решается задача максимизации прибыли как функции цены [83, с.409]. Расчет оптимальных размеров партии деталей основан на минимизации суммарных затрат [83, с.428].
	В эконометрику входит и теория оптимального управления запасами. Эта теория используется для организации и управления материально-производственными запасами организации материально-технического снабжения и складирования [83, с.223-236], в том числе для организации материально-технического снабжения и складирования [83, с.217], организации обеспечения основного производства технологической оснасткой [83, с.208]. Отметим, что «экономичный объем заказа» [83, с.227] является оптимальным лишь при большом интервале планирования [38].  
	В производственном менеджменте широко применяются разнообразные эконометрические методы, относящиеся к «статистическому» крылу этой научно-практической дисциплины. Например, хронометраж [83, с. 311-316] – это типовое  статистическое исследование. Отметим использование медианы для вычисления нормы времени [83, с.312], что совпадает с рекомендациями эконометрики, основанными на теории измерений и теории устойчивости статистических процедур [68]. На основе теории выборочных исследований указывается количество наблюдений, позволяющее сделать обоснованные выводы о структуре затрат рабочего времени [83, с.315].
	Большой раздел эконометрики – статистические методы управления качеством продукции. Согласно международному стандарту ИСО 9004 в системах качества должно быть предусмотрено использование статистических методов [83, с.253]. При рассмотрении видов контроля качества продукции выделяются «выборочный» и «статистический» контроль [83, с.268]. Описываются методы статистического приемочного контроля и статистического контроля процессов (другими словами, статистического регулирования технологических процессов) [83, с.271-274]. В качестве одного из четырех основных методов определения показателей качества продукции указан экспертный метод [83, с.275]. Экспертные методы предлагается использовать и при построении причинно-следственной диаграммы (диаграммы Исикавы) для ранжирования факторов по их значимости и выделении наиболее важных [83, с.276]. Из методов обработки статистических данных разобрана методика анализа качества продукции машиностроения с помощью диаграмм Парето [83, с.277].
	В производственном менеджменте большую роль играют методы принятия решений [83, с.25-28], различные специализированные эконометрические модели, например, модель минимизации сроков выполнения заказов на основе использования сетевого графика со случайными сроками выполнения отдельных работ [83, с.110-112].
	Таким образом, эконометрические методы постоянно используются менеджерами, в том числе контроллерами. Вполне естественно, что ссылки на эти методы являются краткими. Предполагается, что читатели с ними знакомы. Да и странно было бы обсуждать вопросы эконометрики, например, в курсе организации и планирования производства или при рассказе о работе контроллеров в США.
	Однако встанем на позицию специалиста, начинающего изучать и внедрять контроллинг. Как ему овладеть таким эффективным инструментом контроллинга, как эконометрика? Кратких упоминаний в публикациях по контроллингу или по производственному менеджменту недостаточно. Необходимо обратиться к соответствующей литературе (см., например, [68]). Наблюдается и обратный процесс – в книгах по менеджменту все больше внимания уделяется инструментам менеджмента. Вполне естественно, что методы принятия решений, оптимизации, выборочного контроля и экспертных оценок подробно рассматриваются в учебном пособии по менеджменту в техносфере [84] в качестве отдельных глав. 
	Учитывая важность проблемы построения интегральных показателей, обсудим эту тему подробнее.

3.4. Анализ ситуации с помощью системы показателей

	В различных управленческих и экономических задачах используются показатели и системы показателей. Например, в теоретических обсуждениях популярен такой показатель, как рентабельность инвестиций (для достижения полной определенности ситуации надо еще фиксировать дисконт-фактор и период рассмотрения). Широко известны развернутые системы показателей, предназначенных для оценки финансово-хозяйственной деятельности предприятий и организаций. Общее число показателей достигает многих десятков, сотен и даже тысяч. Особенно если используется иерархический подход к построению системы показателей (деревья показателей, в иной терминологии - единичные, групповые и обобщенные показатели и др.).
	Как можно применять системы показателей для решения задач менеджмента, в частности, контроллинга? Обычно их используют для сравнения и выбора объектов (например, проектов, образцов продукции, предприятий) между собой. Требуется установить, какой объект лучше, какой хуже, упорядочить их между собой. Отсюда ясно, что сама по себе система показателей носят вспомогательный характер. Это – инструмент для решения задач сравнения и выбора.
	Есть два основных подхода к упорядочению объектов на основе системы показателей. Первый из них основан на построении некоего обобщенного (интегрального) показателя. В простейшем случае строится линейная комбинация значений показателей, коэффициенты при этом оцениваются экспертно. Во втором подходе используют более изощренную технику многокритериальной оптимизации, в частности, оптимизации по Парето.
	Оба подхода предполагают начальный этап – возможно большее сокращение числа показателей при минимально возможной потере содержащейся в них информации. После исключения дублирующих (функционально связанных) показателей целесообразно провести кластер-анализ [68] остальных с целью выделения групп однородных показателей, а в них – показателей, которые будут представлять однородные группы. Связь между показателями естественно оценивать по статистическим данным с помощью, например, коэффициентов ранговой корреляции Кендалла или Спирмена. А кластер-анализ проводить методом k-средних, в качестве представителя группы брать легко вычисляемый показатель, расположенный вблизи центра группы. Число групп – до нескольких десятков.
	Популярный подход на основе построения некоего обобщенного показателя, особенно когда строится линейная комбинация значений показателей, а коэффициенты при них оцениваются экспертно, плох тем, что, как правило, эксперты не в состоянии оценить коэффициенты достаточно точно. Разброс их значений недопустимо велик. Так, при оценке технологий уничтожения химического оружия разброс оценок американских экспертов составлял десятки процентов, что делало абсолютно бесполезной разработанную ими систему из 120 показателей. Причина описанного явления состоит в том, что человеку свойственно отвечать на вопросы качественного характера (типа: какой проект привлекательнее), чем на вопросы количественного характера (типа: во сколько раз привлекательнее, или - укажите коэффициенты при показателях). Гораздо точнее коэффициенты оцениваются с помощью экспертно-статистического метода, основанного на предварительном непосредственном сравнении (оценке) некоторого количества объектов с помощью высококвалифицированных экспертов.
	Другой недостаток первого подхода (на основе построения некоего обобщенного показателя), когда строится линейная комбинация значений единичных показателей, а коэффициенты при них оцениваются экспертно, состоит в том, что для анализа данных, измеренных в порядковой шкале, нельзя использовать средние арифметические и вообще операцию сложения. Применять надо медианы. В крайнем случае – медианы и средние арифметические, а затем результаты согласовывать, как это описано в [68].
	Во втором подходе используют многокритериальную оптимизацию, когда каждый параметр рассматривается как критерий. Первый шаг - оптимизация по Парето, т.е. отбрасывание вариантов, проигрывающих другим. Затем идет тщательный анализ оставшихся вариантов, сравнение их различными способами. Целесообразно применять выводы, полученные при использовании различных способов (устойчивые по отношению к способу обработки). При анализе системы показателей и сравнении объектов необходимо использовать различные экспертные методы.

3.5. Взвешенные агрегированные показатели

	Как строить интегральные показатели? Кроме взвешенной суммы значений единичных показателей, есть много иных способов. Опишем их.
	Пусть Х1, Х2,..., ХК -  частные (или групповые) числовые показатели. Пусть каждому из них приписан вес - А1, А2, ..., АК соответственно, отражающий их относительную важность (оцененную экспертами или иным способом). Весовые коэффициенты неотрицательны и в сумме составляют 1. 
	Взвешенные агрегированные показатели можно определить следующим единообразным способом.
	Введем (чисто формально) распределение вероятностей, приписывающее каждому значению ХМ, М=1,2,...,К, вероятность АМ. Для этого распределения обычным образом определим такие характеристики, как математическое ожидание, медиана, начальные моменты, мода и т.д., которые и будем использовать в качестве взвешенных агрегированных показателей или при их расчете.
	При этом математическое ожидание дает взвешенное среднее арифметическое, медиана - взвешенную медиану (в частном случае, когда одна из ступенек функции распределения приходится на высоту 0,5, целесообразно ввести понятия левой и правой медиан - т.е. левого и правого концов указанной ступеньки соответственно). 
	Начальный момент р-го порядка после извлечения корня р-ой степени дает взвешенное степенное. Аналогичным образом получаем обобщенное среднее по Колмогорову общего вида [68].
	Мода указывает на значение наиболее важного показателя.
	В соответствии с методологией устойчивости результатов обработки данных [38, 68] при анализе конкретной ситуации целесообразно одновременно использовать несколько обобщенных показателей, например, взвешенную медиану и взвешенное среднее арифметическое. Хотя согласно теории измерений   использование среднего арифметического некорректно, в отличие от применения медианы в качестве интегрального показателя, но расчет среднего арифметического имеет давние традиции [83]. Поэтому в эконометрике [68] разработана процедура построения итогового упорядочения объектов в два этапа. На первом этапе строятся два упорядочения - по средним арифметическим ответов экспертов и по медианам. На втором этапе рассчитывается упорядочение, согласующее эти два упорядочения. 

3.6. Эконометрика при обучении контроллеров

	Требования к профессиональной подготовке специалистов по контроллингу включают, в частности, требования к интеллектуальным инструментам, которыми должны владеть контроллеры. Одним из таких инструментов является эконометрика. В статье [67] сделана попытка раскрыть содержание понятия «эконометрическая поддержка контроллинга». 
	В настоящее время эконометрика вызывает большой интерес у научных работников и преподавателей. Так, выпускаемое Институтом высоких статистических технологий и эконометрики МГТУ им. Н.Э. Баумана с июля 2000 г. еженедельное компьютерное издание «Эконометрика» имеет около 1000 подписчиков.
	Организация обучения, в частности, составление учебных планов, программ, методических материалов и учебников, предполагает обсуждение объема и содержания соответствующей учебной дисциплины. В соответствии с цитированным выше определением Большого Энциклопедического Словаря к эконометрике следует относить математическое программирование, методы теории принятия решений, вообще все экономико-математические методы, кроме тех, которые используются для получения чисто теоретических качественных результатов, типа теорем о существовании магистрали в абстрактных моделях экономической динамики.
	В наиболее распространенных представлениях об эконометрике внимание сосредотачивается на статистических методах и моделях. Именно так построено обучение на факультете «Инженерный бизнес и менеджмент» МГТУ им. Н.Э.Баумана и соответствующий учебник [68]. При этом математическое программирование и ряд иных экономико-математических методов включаются не в курс эконометрики, а в иной курс. Курсы теории вероятностей и математической статистики (как часть общего курса математики), статистики и эконометрики образуют естественную триаду.
	Наконец, иногда эконометрику понимают предельно узко, как дисциплину, посвященную построению статистических моделей частного вида (систем линейных регрессионных и авторегрессионных моделей). На наш взгляд, эти модели являются излишне специальными для включения в систему образования специалистов по контроллингу и вообще управленческого и экономического образования. 
	Содержание образования должно соответствовать современному научному уровню и давать знания, методы и навыки, полезные для практической работы. Назрела необходимость пересмотра содержания ряда учебных дисциплин и внесения изменений в соответствующие государственные образовательные стандарты. В частности, необходимо приветствовать введение дисциплины «Эконометрика» в ряд государственных образовательных стандартов по управленческим и экономическим дисциплинам. Однако содержание приведенных в них минимальных требований целесообразно привести в соответствие с реально читаемым курсом эконометрики.
	Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» образует естественную основу эконометрики. Однако его необходимо привести в соответствие с современными требованиями. В частности, необходимо рассматривать понятия случайных элементов со значениями в произвольных пространствах, эмпирических и теоретических средних в таких пространствах, доказывать законы больших чисел в общих постановках. Необходимо исключить из программы методы, опирающиеся на те предположения, которые не выполняются в конкретных экономических ситуациях. В частности, исключить одновыборочный и двухвыборочный критерии Стьюдента и заменить их соответствующими непараметрическими критериями.  
	Как преподавание контроллинга, так и преподавание эконометрики находятся в стадии становления. Нет опыта десятилетий. Необходимо отработать наиболее целесообразные формы преподавания. В частности, курс эконометрики может быть разбит на стадии. Первая стадия, как это и реализуется в настоящее время, должна следовать за курсами теории вероятностей и математической статистики (как части общего курса математики) и статистики, завершая фундаментальное образование по своему направлению. Ее место – третий год дневного обучения. Однако в конце обучения, на 10-м или 11-м семестре, представляется полезным иметь эконометрический курс прикладной направленности, нацеленный на применение эконометрических методов в задачах прогнозирования, планирования, контроля, анализа внутренних и внешних рисков, принятия решений и др. 
	Актуальной является проблема разработки учебно-методической литературы, лабораторных работ по эконометрике, обмен опытом преподавания и научных исследований. Отметим, что подавляющее большинство эконометрических методов могут быть успешно применены не только в контроллинге, менеджменте и экономике. Они могут быть использованы в технических, медицинских, геологических, социологических, исторических и иных социально-экономических исследованиях, практически в любой научной дисциплине и прикладной области. В частности, большой опыт накоплен за последние сорок лет секцией «Математические методы исследования» научно-технического журнала «Заводская лаборатория» (главный редактор – академик РАН Н.П.Лякишев). Опубликовано более тысячи статей по прикладной статистике и другим статистическим методам. На основе этого опыта целесообразно приступить к обучению основам современных статистических методов и эконометрики студентов технических специальностей.
	Поскольку контроллинг опирается на использование информационных систем управления предприятиями, то эконометрические программные продукты должны быть неотъемлемой составной частью таких систем [85].
	Свободное владение такими инструментами контроллинга, как эконометрика, - признак профессионализма контроллера.
	Однако из сказанного выше ясно, что эконометрика – дисциплина на стыке менеджмента и экономики, с одной стороны, прикладной математики и компьютерных наук, с другой стороны. Следовательно, специалист в области эконометрики должен владеть как организационно-экономическими, так и математическими знаниями, умениями, навыками, способностями. Нельзя требовать от каждого контроллера, чтобы он был специалистом в области эконометрики. Но внутри каждого достаточно крупного подразделения контроллинга целесообразно иметь такого специалиста. 

4. Интервальный регрессионный анализ в контроллинге

	Перспективы применения эконометрических методов в контроллинге рассмотрены в [67]. Настоящий раздел посвящен использованию конкретного эконометрического метода - интервального регрессионного анализа - при анализе и прогнозировании затрат.

4.1. Традиционный и интервальный варианты регрессионного анализа:
преимущества и недостатки

	Методы статистики интервальных данных наряду с классическими методами оказываются полезными не только в традиционных эконометрических задачах, но и во многих других областях экономики [84, 86]. Пример использования статистики интервальных данных в инвестиционном менеджменте подробно описан в [68]. 
	Математическая статистика интервальных данных - перспективная и быстро развивающаяся область статистических исследований последних лет. Развитие идей статистики интервальных данных продолжается уже более 20 лет. Одна из ведущих научных школ в области статистики интервальных данных - это школа проф. А.П. Вощинина, активно работающая с конца 70-х годов [87]. В рамках второй – асимптотической статистики интервальных данных (о ней см. [68, гл.9], [88], [89])  – выполнен настоящий раздел отчета. Это направление началось с разработки ГОСТ 11.011-83 «Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров гамма - распределения». К настоящему времени в статистике интервальных данных изучены проблемы регрессионного анализа, планирования эксперимента, сравнения альтернатив и принятия решений в условиях интервальной неопределенности. [68, с. 302].
	В данном разделе отчета рассматривается применение в контроллинге одного из методов статистики интервальных данных - интервального регрессионного анализа. А именно, при анализе и прогнозировании затрат. Компьютерный анализ данных и использование эконометрических методов в информационных системах управления предприятием при решении задач контроллинга были рассмотрены в [85].
	При выборе методов определения параметров регрессионной модели можно руководствоваться различными подходами, но наиболее распространен метод наименьших квадратов. Этот метод широко применяется при анализе и прогнозировании затрат предприятия. Изменение объема выпуска или реализация любого вида продукции связано с изменением прибыли, поэтому, принимая решение, руководитель должен представлять, как оно отразится на затратах и выручке.
	Так, согласно [90, с. 33] процесс разделения затрат на переменные и постоянные состоит их следующих этапов:
	-  группировка затрат;
	- сбор статистической информации;
	- построение графика зависимости затрат от объема (по имеющимся данным);
	- определение численных параметров зависимости затрат от выпуска:
	- анализ силы связи между затратами и объемом производства.
	Постоянные затраты не зависят от объема выпуска по определению:
F = const = b.
Зависимость переменных затрат от объема выпуска в простейшем случае можно записать линейной функцией:
у = ах,
где 	y - суммарный объем переменных затрат (на весь объем выпуска);
	a - коэффициент пропорциональности (величина переменных затрат на единицу выпуска);
	х - объем выпуска.
	В микроэкономической теории затраты – квадратичная или более сложная функция. Здесь мы ограничимся более простой (линейной) зависимостью.
	Исходя из сказанного, зависимость смешанных (другими словами, суммарных) затрат от объема выпуска можно записать линейной функцией, содержащей свободный член:
у = ах + b,
где	 y - суммарная величина смешанных затрат;
	ax - переменная часть смешанных затрат;
	b - постоянная часть смешанных затрат.
	При использовании традиционного метода наименьших квадратов возникают следующие проблемы [90, с. 34]:
	- нехватка статистической информации (необходимы данные примерно за год по месяцам);
	- необходимость учета инфляции;
	- неточность исходных данных;
	- большие погрешности прогнозирования.
	Для того чтобы устранить инфляционный фактор, все цены переводят в цены базового периода. Чтобы получить более точные данные, необходимо большее количество исходной информации и более тщательная ее обработка. 
	Есть и чисто математическая причина [68]. А именно, одна из причин появления погрешностей - запись результатов наблюдений с конечным числом значащих цифр. Дело в том, что для случайных величин с непрерывными функциями распределения, используемых при эконометрическом моделировании погрешностей, событие, состоящее в попадании хотя бы одного элемента выборки в множество рациональных чисел, согласно правилам теории вероятностей имеет вероятность 0, а такими событиями в теории вероятностей принято пренебрегать [68]. 
	Основные идеи статистики интервальных данных даны в [68, гл.9]. Для демонстрации их практической полезности рассмотрим на конкретном примере регрессионную модель статистики интервальных данных, в которой элементы выборки описываются не числами, а интервалами.
	Общая схема исследования в статистике интервальных данных включает расчет нотны (максимально возможного отклонения статистики, вызванного интервальностью исходных данных) и рационального объема выборки (превышение которого не дает существенного повышения точности оценивания) [68]. Таким образом, использование общей схемы исследования в статистике интервальных данных может решить ряд проблем классического регрессионного анализа. Рациональный объем выборки позволяет определить тот объем выборки, при достижении которого продолжать наблюдение нецелесообразно. А расчет нотны даст величину максимально возможного отклонения статистики.
	Вначале обсудим теоретическое обоснование метода согласно [88, с. 149], чтобы описать алгоритм построения уравнения регрессии и нахождения нотны. Более подробное описание можно найти в [89].

4.2. Интервальный линейный регрессионный анализ

	Рассмотрим линейную регрессионную модель 
           (1)
где	 y  - вектор размерности n значений зависимой переменной;
	X – матрица плана (значений независимых переменных) порядка k×n;
	β -  вектор неизвестных параметров размерности k;
	ε - вектор невязок (погрешностей измерения) размерности n.
	Как известно, оценка наименьших квадратов  вектора β имеет вид
		(2)
где штрих – знак транспонирования. В интервальной статистике рассматривают модель, согласно которой X и y известны статистику лишь с некоторой точностью, т.е.
, ,
где Xo и yo - истинные значения переменных, α и γ - неизвестные статистику малые погрешности. 
	Нотна оценки наименьших квадратов  – это вектор, каждая координата которого – максимально возможное отклонение этой координаты изучаемого вектора , вызванное погрешностями α и γ. Таким образом, рассматриваемая нотна – это вектор Nβ = (N1β, N2β, …, Nkβ), где
        (3)
где sup берется по области изменения (α, γ), описанной ниже.
	Вычислим нотну при малых погрешностях α и γ в соответствии с подходом, развитым в статье [88]. Имеем 
          (4)
Последний член в (4) есть О, т.е. член более высокого порядка по , чем предыдущие, где  - евклидова норма матрицы , т.е.  есть сумма квадратов всех элементов матрицы  порядка kn. 
	Для вычисления величины  обратимся к известной формуле теории матриц
, 		(5)
где E – единичная матрица, все собственные числа матрицы А по модулю меньше 1. Поскольку , то из (5) вытекает, что 
. 	(6)
Из (4) и (6) следует, что
. 	(7)
Далее с точностью до членов более высокого порядка имеем
.
Наконец, согласно (2) имеем
 	 (8)
c точностью до членов более высокого порядка по  и . При этом согласно (4)  с точностью до членов более высокого порядка. Последняя формула позволяет изучать чувствительность оценок метода наименьших параметров в зависимости от изменения исходных данных. Дальнейшее развитие изучения чувствительности – расчет нотны. Проведем его на примере парной регрессии.

4.3. Интервальная парная регрессия

	Парная регрессия – частный случай многомерного регрессионного анализа, в котором на основе формулы (8) можно легко продвинуться дальше. Модель имеет вид
 i=1, 2, 3, ..., n.      (9)
Она переходит в модель (1), если положить
		(10)
Естественно принять, что погрешности матрицы X имеют вид
.
	Как известно,
,		(11)
Для упрощения обозначений далее опустим пределы суммирования, а затем и индекс суммирования. Это не может привести к недоразумениям, поскольку всюду суммирование проводится по индексу i в интервале от 1 до n. Из формулы (11) вытекает, что
.		(12)
Легко подсчитать, что 
.		(13)
Положим
.
Тогда знаменатель в (12) равен . Из (12) и (13) следует, что 
.		(14)
Из (14) и (11) следует, что 
,		(15)
где 
,
,
.
Наконец, вычисляем основной член в (8):
,		(17)
где 
z1i = xi A+B, z2i = xi B+D, I = 1, 2, … , n.		(18)
	Перейдем к вычислению второго члена с  в (8). Имеем
,		(19)
где 
w1i = nαi,	 w2i = -i Σx,	 i=1, 2, … , n.
Складывая правые части (17) и (19) и умножая на y, получим окончательный вид члена с в (8):
,		(20)
где

		(21)
	Имеем
,
.
	Если ограничения имеют вид
|j|  < λ,	 j=1,2,….n,		(23)
где - максимально возможная погрешность (т.е. предельная абсолютная погрешность), то максимально возможное отклонение оценки  параметра  из-за погрешностей j имеет вид
,		(24)
где производные  заданы формулой (22).
	Из (20), (21) и (23)  следует, что
,		(25)
где F и G определены в (21), а
,		(26)
.		(27)

4.4. Прогнозирование затрат предприятия с помощью
 интервального регрессионного анализа

	Рассмотрим практический пример использования интервального регрессионного анализа при прогнозировании затрат предприятия.

Таблица 1. 
Исходные данные, тыс. руб.
	y	yo		X	Xo		
1	203,4	203	0,4	105,4	105	0,4	
2	63,3	63	0,3	56	56	0	
3	36,1	36	0,1	35	35	0	
4	34,4	34	0,4	36,8	36	0,8	
5	45,9	45	0,9	54,2	54	0,2	
6	113,7	113	0,7	63,4	63	0,4	
7	121,8	121	0,8	26,8	26	0,8	
8	70,8	70	0,8	43,2	43	0,2	
9	87,8	87	0,8	40,7	40	0,7	
10	75,8	75	0,8	66,5	66	0,5	
11	49	49	0	25,1	25	0,1	
12	111,8	111	0,8	54,3	54	0,3	
	1013,8	1007	6,8	607,4	603	4,4	

	Пример. Выпуск продукции y зависит от величины суммарных переменных затрат X. Исходные данные за 2002 год предприятия “Омега” приведены в табл. 1. Необходимо построить уравнение регрессии  и найти нотну. В данном случае n = 12, k = 2. Зависимость ищется в виде .
	Рассмотрим вариант, когда максимально возможная погрешность . Построим уравнение регрессии согласно методу наименьших квадратов. Согласно (1) и (2) для определения вектора оценок следует предварительно найти симметричную матрицу , которая имеет вид
.
Затем необходимо вычислить вектор :
.
Вычислим обратную матрицу  :
.
Подставив найденный вектор  и матрицу  в (2), найдем вектор оценок
.
Итак, уравнение регрессии имеет вид
.
	Вычислим изменение (приращение) вектора оценок при изменении исходных данных.
.
Вычисления проведем по этапам.
1. Определим :

2. Найдем произведение матриц  :
.
3. Вычислим выражение  -:
.
4. Найдем первое слагаемое в квадратных скобках - (табл.2).

Таблица 2.
Элементы матрицы -
0,0017	0,005	0,0064	0,006	0,005	0,0045	0,007	0,0058	0,0061	0,004	0,007	0,005	
-0,00015	-0,0001	-0,0001	-0,0001	-0,0001	-0,0001	-0,0001	-0,0001	-0,0001	-0,0001	-0,0001	-0,0001	

5. Найдем произведение обратной матрицы и транспонированной матрицы погрешностей  (табл.3).

Таблица 3.
 Элементы матрицы 
-0,003	-0,003	-0,001	-0,004	-0,008	-0,007	-0,0076	-0,0076	-0,0076	-0,0076	0,000	-0,0076	
0,0001	0,0001	0,00001	0,0001	0,0002	0,0001	0,00016	0,00016	0,0002	0,0002	0,00	0,0002	

6. Найдем сумму двух матриц + (табл.4).

Таблица 4.
Элементы матрицы +
-0,002	0,002	0,005	0,0025	-0,00342	-0,00213	-0,0005	-0,00172	-0,00152	-0,003	0,007	-0,002	
-0,0001	-0,0001	-0,0001	-0,00002	0,0001	0,00002	0,00006	0,00005	0,00005	0,00003	-0,0001	0,00004	

 7. Вычислим выражение :
.
8. Определим  (табл.5).

Таблица 5.
Элементы матрицы 
-0,437	0,0287	0,2282	0,2188	0,0477	-0,0378	0,3138	0,1522	0,1807	-0,066326	0,32326	0,0478	
0,010353	0,0011	-0,0028	-0,0027	0,0007	0,0024	-0,0046	-0,0014	-0,0019	0,00298	-0,0048	0,00071	

9. Найдем выражение :
.
10. Изменение (приращение) вектора оценок при изменении исходных данных есть вектор
.
	В табл.6 приведены результаты расчетов, используемые ниже.

Таблица 6. 
Результаты расчетов
X	Х2	yX	Yo	Xyo	X-Xср	(Х-Хср)2	
42,16	11109,16	21438,36	0,4	42,16	105,3831	11105,61	
0	3136	3544,8	0,3	16,8	55,9831	3134,11	
0	1225	1263,5	0,1	3,5	34,9831	1223,82	
29,44	1354,24	1265,92	0,4	14,72	36,7831	1353,00	
10,84	2937,64	2487,78	0,9	48,78	54,1831	2935,81	
25,36	4019,56	7208,58	0,7	44,38	63,3831	4017,42	
21,44	718,24	3264,24	0,8	21,44	26,7831	717,34	
8,64	1866,24	3058,56	0,8	34,56	43,1831	1864,78	
28,49	1656,49	3573,46	0,8	32,56	40,6831	1655,12	
33,25	4422,25	5040,7	0,8	53,2	66,4831	4420,01	
2,51	630,01	1229,9	0	0	25,0831	629,16	
16,29	2948,49	6070,74	0,8	43,44	54,2831	2946,66	
Σ	Σ	Σ	Σ	Σ	Σ	Σ	
218,42	36023,32	59446,54	6,8	355,54	607,2	36002,84	

11. Вычислим  и  (см. табл.6):
 = 3000,24,	 = 9001424,21.
12. Найдем А, B, C, D (см. табл.6):
А= 1236,48, B=C= 341304,8, D= -31383507,6.
13. Найдем элементы матриц Z и W, которые приведены в табл.7, табл.8, табл.9, табл. 10 соответственно. 

Таблица 7. 
Элементы матрицы Z
	Промежуточные вычисления	Промежуточные вычисления	Элементы матрицы	
				
Z11	210979,9	0,000001	0,000230	
Z12	272062,0	0,000001	0,000092	
Z13	298028,0	0,000002	0,000058	
Z14	295802,4	0,000002	0,000055	
Z15	274287,6	0,000001	0,000067	
Z16	262912,0	0,000001	0,000160	
Z17	308167,2	0,000002	0,000201	
Z18	287888,9	0,000002	0,000109	
Z19	290980,1	0,000002	0,000137	
Z1 10	259078,9	0,000001	0,000105	
Z1 11	310269,2	0,000002	0,000081	
Z1 12	274164,0	0,000001	0,000164	
			0,00146	

Таблица 8. 
Элементы матрицы Z (продолжение) 
	Промежуточные вычисления	Промежуточные вычисления	Элементы матрицы	
				
Z21	4590023,3	0,000025	0,005002	
Z22	-12270436,2	-0,000066	-0,004161	
Z23	-19437838,0	-0,000104	-0,003759	
Z24	-18823489,2	-0,000101	-0,003469	
Z25	-12884784,9	-0,000069	-0,003169	
Z26	-9744780,3	-0,000052	-0,005936	
Z27	-22236537,7	-0,000119	-0,014510	
Z28	-16639138,2	-0,000089	-0,006311	
Z29	-17492400,3	-0,000094	-0,008228	
Z2 10	-8686735,2	-0,000047	-0,003528	
Z2 11	-22816756,0	-0,000122	-0,005990	
Z2 12	-12850654,4	-0,000069	-0,007697	
			-0,061757	

Таблица 9. 
Элементы матрицы W
	Промежуточные вычисления	Промежуточные вычисления	Элементы матрицы	
	n	n/n2	(n/n2)y	
W11	4,8	0,00001111	0,002259822	
W12	0	0,00000000	0	
W13	0	0,00000000	0	
W14	9,6	0,00002222	0,000764384	
W15	2,4	0,00000556	0,00025498	
W16	4,8	0,00001111	0,001263234	
W17	9,6	0,00002222	0,002706453	
W18	2,4	0,00000556	0,000393302	
W19	8,4	0,00001944	0,001707088	
W1 10	6	0,00001389	0,001052695	
W1 11	1,2	0,00000278	0,0001361	
W1 12	3,6	0,00000833	0,000931593	
			0,011	

Таблица 10. 
Элементы матрицы W(продолжение)
	Промежуточные вычисления	Промежуточные вычисления	Элементы матрицы	
	-αΣх	-αΣх /n2	(-αΣх /n2)y	
W21	-242,96	-0,00056236	-0,11438464	
W22	0	0,00000000	0,00000000	
W23	0	0,00000000	0,00000000	
W24	-485,92	-0,00112473	-0,03869058	
W25	-121,48	-0,00028118	-0,01290623	
W26	-242,96	-0,00056236	-0,06394068	
W27	-485,92	-0,00112473	-0,13699164	
W28	-121,48	-0,00028118	-0,01990765	
W29	-425,18	-0,00098414	-0,08640708	
W2 10	-303,7	-0,00070295	-0,05328390	
W2 11	-60,74	-0,00014059	-0,00688895	
W2 12	-182,22	-0,00042177	-0,04715414	
			-0,581	

14. Вычислим F и G:
F = 0,00146 + 0,011 = 0,013; G = -0,062 - 0,581 = -0,642.
15. Найдем производные от F и G по j (табл.11).

Таблица 11. 
Производные от F и G по j
	F	G	
1	0,0067	-0,3354	
2	0,0067	-0,1071	
3	0,0076	-0,0555	
4	0,0074	-0,0542	
5	0,0064	-0,0815	
6	0,0075	-0,1826	
7	0,0106	-0,1708	
8	0,0079	-0,1095	
9	0,0086	-0,1318	
10	0,0062	-0,1313	
11	0,0088	-0,0673	
12	0,0082	-0,1742	
	0,0926	-1,6012	

16. Вычислим F1  и G1:
F1  = 0,0003: G1  = 0,067.
17. И, наконец, найдем максимально возможное изменение вектора оценок параметров линейной модели при изменении исходных данных:
.

4.5. Свойства интервального регрессионного анализа

	На основе приведенных выше теоретических выкладок и результатов расчета по данным табл.1 сформулируем основные свойства рассматриваемого эконометрического метода – интервального регрессионного анализа.
	1. К настоящему времени теория и алгоритмы интервального линейного регрессионного анализа хорошо разработаны.
	2. В результате экспериментального изучения устойчивости интервального метода парной регрессии проведен расчет коэффициентов линейной модели и выяснено, как изменяются эти коэффициенты при допустимых отклонениях исходных данных.
	3. Для данных примера (табл.1) нотна – максимально возможное изменение - равна 0,013 для коэффициента линейного члена (т.е. коэффициента при X) и 0,575 для свободного члена. Таким образом, восстановленная зависимость имеет вид
y(X) = (1,53  ± 0,013)X + 7,15 ±  0,575   .
Полученные результаты дают возможность оценивать точность прогнозирования с помощью восстановленной зависимости, рассчитывая нижние и верхние границы для значения зависимой переменной. Например, при X=100 нижняя и верхняя границы интервала равны
yв (100) = (1,53+0, 013)×100 + 7,15+0,575 =  162,03,
yн (100)  = (1,53-0,013)×100 + 7,15 –0,575  = 158,23.
Таким образом, если в классическом регрессионном анализе находим только одно прогнозное значение y, то в интервальном регрессионном анализе получен интервал значений выпуска продукции от 158,23 до 162,03. 
	4. В данном примере рассмотрен вариант, когда максимально возможная погрешность λ = 1. Но целесообразно также рассмотреть вариант с λ = 0,5, когда истинные значения переменных округляют к ближайшему целому числу. Для установления точности определения конкретных экономических величин могут понадобиться специальные эконометрические исследования. 
	5. На основе использования вероятностных моделей регрессионного анализа [68, гл. 5.1] удается построить доверительные границы для восстановленной зависимости. Однако при практическом применении вероятностных моделей не всегда легко обосновать предположения, наложенные на вектор невязок  (независимость и одинаковую распределенность его координат). Кроме того, при моделировании экономических явлений и процессов обычно нет оснований использовать нормально распределенные случайные величины [68, гл. 4.1], следовательно, нельзя применять методы регрессионного анализа, основанные на нормальном распределении погрешностей. При этом объем данных обычно таков, что применение асимптотических формул непараметрического регрессионного анализа [68, гл. 5] не вполне оправдано. Поэтому описанный выше подход интервального регрессионного анализа представляется не менее оправданным, чем подход на основе вероятностных моделей. В этом мы согласны с А.П. Вощининым [87]. 
	6. Использование интервального регрессионного анализа в различных областях экономики имеет большое значение. Кроме этого, по нашему мнению, со временем во все виды статистического программного обеспечения должны быть включены алгоритмы интервальной статистики, "параллельные" обычно используемым алгоритмам прикладной математической статистики. Это позволит в явном виде учесть наличие погрешностей у результатов расчетов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

	На основе современных подходов к эконометрике разработана концепция высоких статистических технологий, изучены проблемы их создания, внедрения и преподавания, их соотнесения с классическими и «низкими» технологиями. Разработаны новые эконометрические методы классификации. В частности, построена вероятностная теория кластер-анализа, развиты методы сравнения алгоритмов диагностики и методы использования непараметрических оценок плотности в задачах классификации. Проанализирована практика применения эконометрических методов при решении задач контроллинга и в производственном менеджменте. Разработан новый раздел эконометрики - интервальный регрессионный анализа - с целью применения в задачах управления промышленными предприятиями, прежде всего службами контроллинга. По результатам работы опубликованы работы [68, 79,  84, 85,91-98].
	Результаты НИР являются принципиально новыми. По широте применения - на мировом уровне. Получены новые знания в области методологии и методов эконометрики.
	Результаты НИР предназначены для использования на промышленных предприятиях (в системе управления, в центральных заводских лабораториях, в службах качества и маркетинга, и т.д.), при проведении дальнейших фундаментальных исследований, в учебном процессе МГТУ им. Н.Э.Баумана (дисциплины «Эконометрика-1», «Эконометрика-2», «Прогнозирование и ТЭП в отрасли» и др.).
	Целесообразно развитие научно-исследовательских работ по рассматриваемой тематике, проведение дальнейших фундаментальных и прикладных научных исследований по эконометрике.

Список использованных источников

1. Орлов А.И. Современная прикладная статистика // Заводская лаборатория. 1998. Т.64. № З. С.52-60.
2. Никитина Е.П., Фрейдлина В.Д., Ярхо А.В. Коллекция определений термина "статистика" / Межфакультетская лаборатория статистических методов. Вып.37. - М.: Изд-во Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, 1972. - 46 с.
3. Орлов А.И. Что дает прикладная статистика народному хозяйству? // Вестник статистики. 1986. №8. С.52-56.
4. Орлов А.И. Термины и определения в области вероятностно-статистических методов // Заводская лаборатория. 1999. Т.65. No.7. С.46-54.
5. Орлов А.И. Проблема множественных проверок статистических гипотез // Заводская лаборатория. 1996. Т.62. №5. С.51-54.
6. Орлов А.И. Сертификация и статистические методы (обобщающая статья) // Заводская лаборатория». 1997. Т.63. No.3. С. 55-62.
7. Орлов А.И. Распространенная ошибка при использовании критериев Колмогорова и омега-квадрат // Заводская лаборатория. 1985. Т.51. №1. С.60-62.
8. Орлов А.И. Какие гипотезы можно проверять с помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона? //Заводская лаборатория. 1999. Т.65. №1. С.51-55.
9. Орлов А.И. О перестройке статистической науки и её применений // Вестник статистики. 1990. №1. С.65 – 71.
10. Контроллинг в бизнесе. Методологические и практические основы построения контроллинга в организациях / А.М. Карминский, Н.И. Оленев, А.Г. Примак, С.Г. Фалько. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 256 с.
11. Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. - М.: Знание, 1980.- 64 с.
12. The teaching of statistics / Studies in mathematics education. Vol.7. – Paris: UNESCO, 1989. - 258 pp.
13. Рекомендации. Прикладная статистика. Методы обработки данных. Основные требования и характеристики. - М.: ВНИИСИ, 1987. – 62 с.
14. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы (Обзор) // Заводская лаборатория. 1990. Т.56. №3. С.76-83.
15. Орлов А.И. Объекты нечисловой природы // Заводская лаборатория. 1995. Т.61. № 3. С.43-52.
16. Орлов А.И. Вероятностные модели конкретных видов объектов нечисловой природы // Заводская лаборатория. 1995. Т.61. № 5. С.43-51. 
17 Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях. - М.: Наука, 1985. – 222 с.
18. Орлов А.И. Общий взгляд на статистику объектов нечисловой природы. - В сб.: Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях. - М.: Наука, 1985. С.58-92. 
19. Раушенбах Г.В. Меры близости и сходства. – В сб.: Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях. - М.: Наука, 1985. С.169-203.
20. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы. – В сб.: Статистика. Вероятность. Экономика. / Ученые записки по статистике, т.49.- М.: Наука, 1985. С.99-107.
21. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы. – В сб.: Математическая статистика, теория вероятностей, комбинаторика и ее применения. / Труды Первого Всемирного Конгресса Общества им. Бернулли. Вып.1. - М.: МИАН СССР, Советский Комитет Общества им. Бернулли, 1988. С.336-341.
22. Маамяги A.В. Некоторые задачи статистического анализа классификаций. - Таллинн: Изд-во АН ЭССР, 1982. – 24 с.
23. Орлов А.И., Рыданова Г.В. О некоторых результатах статистики объектов нечисловой природы. - В сб.: Программно-алгоритмическое обеспечение анализа данных в методико-биологических исследованиях / Материалы I Всесоюзной школы-семинара. – Пущино: Научный центр биологических исследований АН СССР, 1986. - С. 61-71.
24. Фоменко А.Т. Методы статистического анализа исторических текстов. Приложения к хронологии. Тт. I, II. – М.: КРАФТ+ЛЕАН, 1999. – 832 с. + 832 с. 
25. Розова С.С. Классификационная проблема в современной науке. - Новосибирск: Наука, 1986. – 224 с.
26. Шрейдер Ю.А., Шаров А.А. Системы и модели. - М.: Радио и связь, 1982. – 152 с.
27. Воронин Ю.А. Теория классифицирования и ее приложения. – Новосибирск: Наука, 1985. – 232 с.
28. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания. Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1984. – 208 с.
29. Орлов А.И. Заметки по теории классификации // Социология: методология, методы, математические модели. 1991. №2. С.28-50.
30. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. - М.: Наука, 1976. – 736 с. 
31. Орлов А.И. Некоторые неклассические постановки в регрессионном анализе и теории классификации. - В сб.: Программно-алгоритмическое обеспечение анализа данных в медико-биологических исследованиях. - М.: Наука, 1987. с.27-40.
32. Орлов А.И. Некоторые вероятностные вопросы теории классификации.– В сб.: Прикладная статистика / Ученые записки по статистике, т.45. - М.: Наука, 1983. – С.166-179.
33. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. - М.: ГИФМЛ, 1963. -  500 с.
34. Орлов А.И. Оценка размерности модели в регрессии. – В сб.: Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа / Ученые записки по статистике, т.36. - М.: Наука, 1980. с.92-99. 
35. Орлов А.И. Асимптотика некоторых оценок размерности модели в регрессии.– В сб.: Прикладная статистика / Ученые записки по статистике, т.45. - М.: Наука, 1983. – С.260-265.
36. Айвазян С.А., Бежаева З.И.. Староверов O.B. Классификация многомерных наблюдений. - М.: Статистика, 1974. – 240 с.
37. Орлов А.И. Некоторые вероятностные вопросы кластер-анализа. – В сб.: Доклады Московского Общества испытателей природы 1985 г. Общая биология: Новые данные исследований структуры и функций биологических систем. - М.: Наука, 1987. С.53-56. 
38. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. – 296 с.
39. Орлов А.И., Гусейнов Г.А. Математические методы в изучении способных к математике школьников. – В сб.: Исследования по вероятностно-статистическому моделированию реальных систем. - М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1977. С.80-93. 
40. Куперштох B.JI., Миркин Б.Г., Трофимов В.А. Сумма внутренних связей как показатель качества классификации // Автоматика и телемеханика. 1976. № 3. С.91-98.
41. Орлов А.И. Математика нечеткости // Наука и жизнь. 1982. №7. С.60-67.
42. Большев Л.Н., Смирнов H.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983. – 416 с.
43. Орлов А.И. Парные сравнения в асимптотике Колмогорова. – В сб.: Экспертные оценки в задачах управления. - М.: Изд-во ИПУ, 1982. - С. 58-66.
44. Плоткин А.А. Устойчивость разбиения как критерий оптимальности построенной классификации. – В кн.: Статистические методы анализа экспертных оценок. - М.: Наука, 1977. С.111-123.
45. Шурыгин A.M. Статистический кластер-критерий. – В сб.: Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа / Ученые записки по статистике, т.36. - М.: Наука, 1980. С.360-366.
46. Орлов А.И. Классификация объектов нечисловой природы на основе непараметрических оценок плотности. – В сб.: Проблемы компьютерного анализа данных и моделирования: Сборник научных статей. - Минск: Изд-во Белорусского государственного  университета, 1991. С.141-148.
47. Любищев А.А. Проблемы формы, систематики и эволюции организмов. - М.: Наука, 1982. – 278 с.
48. Райская H.Н., Гостилин Н.Л., Френкель А.А. Об одном способе проверки обоснованности разбиения в кластерном анализе. – В сб.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции». – Тарту: Тартуский государственный университет, 1977. С.177-179.
49. Бала Ю.М., Фуки B.Б., Рог А.И. и др. О возможности автоматизации процесса дифференциальной диагностики атеросклеротического кардиосклероза и ревматических пороков сердца, осложненных мерцательной аритмией // Кардиология, 1977. Т.17. №7. С.55-61.
50. Орлов А.И. О нецелесообразности использования итеративных процедур нахождения оценок максимального правдоподобия. // Заводская лаборатория, 1986. Т.52. №5. С.67-69.
51. Гельфанд И.М., Губерман Ш.А., Сыркин А.Л. и др. Прогнозирование исхода инфаркта миокарда с помощью программы «Кора-3» // Кардиология. 1977. Т.17. № 6. С.19-23.
52. Орлов А.И. О сравнении алгоритмов классификации по результатам обработки реальных данных. – В кн.: Общая биология. Новые данные исследований структуры и функций биологических систем. Доклады МОИП, 1985. - М.: Наука, 1987. С.79-82.
53. Орлов А.И. Непараметрические оценки плотности в топологических пространствах. – В сб.: Прикладная статистика / Ученые записки по статистике, т.45. - М.: Наука, 1983. С. 12-40.
54. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. - М.: Наука, 1979. - 528 с.
55. Классификация и кодирование технико-экономической информации. – М.: Изд-во стандартов, 1972. – 176 с.
56. Бреховских С.М. Основы функциональной системологии материальных объектов. – М.: Наука. 1986. – 192 с.
57. Статистические методы классификации. / Под ред. Ю.Н.Благовещенского. – М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 1969. – 174 с.
58. Бонгард М.М. Проблема узнавания. – М.: Наука, 1967. – 320 с.  
59. Елисеева И.И., Рукавишников В.О. Группировка, корреляция, распознавание образов. – М.: Статистика, 1977. – 144 с.
60. Миркин Б.Г. Группировки в социально-экономических исследованиях: Методы построения и анализа. -  М.: Финансы и статистика, 1985. – 223 с.
61. Мандель И.Д. Кластерный анализ. – М.: Финансы и статистика, 1988. – 176 с.
62. Горелик А.Л., Гуревич И.Б., Скрипкин В.А. Современное состояние проблемы распознавания. – М.: Радио и связь, 1985. – 160 с.
63. Левит В.Е., Переверзев-Орлов В.С. Структура и поле данных при распознавании образов. – М.: Наука, 1984. – 120 с.
64. Распознавание образов: Состояние и перспективы / Верхаген К., Дейн Р., Грун Ф. и др. / Пер. с англ. под ред. И.Б.Гуревича. – М.: Радио и связь, 1985. – 104 с. 
65. Абусев Р.А., Лумельский Я.П. Статистическая групповая классификация. – Пермь: Пермский государственный университет, 1987. – 92 с. 
66. Абусев Р.А. Групповая классификация: Решающие правила и их характеристики. – Пермь: Пермский государственный университет, 1992. – 219 с. 
67. Орлов А.И. Эконометрическая поддержка контроллинга // Контроллинг. 2002. №1. С.42-53.
68. Орлов А.И. Эконометрика. Учебник для вузов. Изд. 2-е, исправленное и дополненное. - М.: Изд-во "Экзамен", 2003. – 576 с.
69. Большой Энциклопедический Словарь. - М.: Изд-во «Большая Российская Энциклопедия», 1997.
70. Долан Э.Дж., Линдсей Д.Е.  Рынок: микроэкономическая модель. - СПб: СП "Автокомп", 1992. - 496 с.
71. Фалько С.Г., Рассел К.А. Левин Л.Ф. Контроллинг: национальные особенности – российский и американский опыт // Контроллинг. 2002. №1. С.2-8.
72. Токаренко Г.С. Согласование целей предприятия за счет собственных и заемных источников финансирования // Контроллинг. 2002. №3. С.22-26.
73. Данилочкина Н.Г. Контроллинг как интегрированная функция управления // Контроллинг. 2002. №1. С.10-17.
74. Ряховская О.Н. Метод номинальной группы для планирования продуктовой программы предприятия // Контроллинг. 2002. №2. С.48-52.
75. Васильева Г.А. Показатели оценки эффективности работы подразделения контроллинга // Контроллинг. 2002. №2. С.54-56.
76. Дедов О.А. Управление экономической адаптацией промышленного предприятия. – Екатеринбург: Институт экономики Уральского отделения РАН, 2002. - Рецензия Н.Ю.Ивановой // Контроллинг. 2003. № 1(5). С.79. 
77. Дедов О.А. Исчисление частных и интегральных показателей по уровням управления предприятием // Контроллинг. 2002. №3. С.28-31.
78. Марущенко В.В. Организация поэтапного проведения реинжиниринга бизнес-процессов и управления качеством в Университете // Контроллинг. 2002. №2. С.26-32.
79. Орлова Л.А. Эконометрика на промышленном предприятии // Российское предпринимательство. 2003. №3. С.79-84.
80. Цели и принципы стандартизации. / Под ред. Т. Сандерса. - М.: Изд-во стандартов, 1974. - 132 с.
81. Всеобщее управление качеством: Учебник для вузов / О.П. Глудкин, Н.М. Горбунов, А.И. Гуров, Ю.В. Зорин: под ред. О.П. Глудкина. – М.: Горячая линия – Телеком, 2001. – 600 с.
82. Марущенко В.В., Марущенко А.В. Реинжиниринг бизнес-процессов в Университете: информационное моделирование // Контроллинг. 2003. № 1(5). С.66-73. 
83. Организация и планирование машиностроительного производства (производственный менеджмент). Учебник / К.А. Грачева, М.К. Захарова, Л.А.Одинцова и др.: Под ред. Ю.В. Скворцова, Л.А.Некрасова. – М.: Высшая школа, 2003. - 470 с.
84. Орлов А.И., Федосеев В.Н. Менеджмент в техносфере: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2003. – 384 с.
85. Гуськова Е.А., Орлов А.И. Информационные системы управления предприятием в решении задач контроллинга // Контроллинг. 2003. № 1(5). С.52-59. 
86. Башина О.Э., Бабурин В.Т. Общая теория статистики / Под ред. Спирина А.А. – М.: Финансы и статистика, 1996.
87. Вощинин А.П. Интервальный анализ данных: развитие и перспективы // Заводская лаборатория. 2002. Т. 68. №1. С.118-126.
88. Орлов А.И. Интервальный статистический анализ // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч. тр. – Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1993. – С. 149 -158.
89. Орлов А.И. Теория принятия решений. - М.: Экзамен, 2004 (в печати).
90. Ананькина Е.А., Данилочкин С.В., Данилочкина Н.Г Контроллинг как инструмент управления предприятием / Под ред. Данилочкиной Н.Г. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2003. – 324 с.
91. Орлов А.И. О проверке однородности двух независимых выборок - Журнал «Заводская лаборатория». 2003. Т.69. No.1. С.55-60.
92. Федосеев В.Н., Орлов А.И., Ларионов В.Г., Козьяков А.Ф. Управление промышленной и экологической безопасностью: Учебное пособие. 2-е издание. - М.: Изд-во УРАО, 2003. – 220 с.
93. Орлов А.И. Математические методы исследования и диагностика материалов (Обобщающая статья). - Журнал «Заводская лаборатория». 2003. Т.69. No.3. С.53-64.
94. Орлов А.И., Фалько С.Г., Русанова Г.В., Горчакова Л.С., Орлова Л.А., Гуськова Е.А. О разработке новых эконометрических методов управления предприятием. – Вторая международная конференция по проблемам управления (17-19 июня 2003 года). Тезисы докладов в двух томах. Том 2. – М.: Институт проблем управления, 2003. – С.30.
95. Орлов А.И., Русанова Г.В., Горчакова Л.С. Статистические методы и модели в социально-экономических исследованиях. – В сб.: Тезисы докладов и выступлений на II Всероссийском социологическом конгрессе «Российское общество и социология в XXI веке: социальные вызовы и альтернативы»: В 3 томах. Т.1. – М.: Альфа-М, 2003. – С.519-521.
96. Орлов А.И. Статистика интервальных данных. - Пятая международная конференция «Перспективы систем информатики» (8-9 июля 2003 г., Новосибирск, Академгородок, Россия). Рабочее совещание «Интервальная математика и методы распространения ограничений». Доклады и тезисы. – Новосибирск: Новосибирский центр Информационных Технологий «УниПро», 2003. – С.143-148.
97. Орлов А.И., Орлова Л.А. Применение эконометрических методов при решении задач контроллинга. – Журнал «Контроллинг», 2003, No.4(8), с.50-54.
98. Орлов А.И. Высокие статистические технологии. - Журнал «Заводская лаборатория». 2003. Т.70. No.11.